Coloreamos todos los vértices de un polígono convexo con $10$ vértices con $2$ colores: rojo y azul $($ cada vértice se colorea con $1$ color $).$ ¿De cuántas maneras se pueden colorear todos los vértices de modo que no haya $2$ vértices adyacentes coloreados ambos de rojo?

Se da un polinomio $P(x)$ con coeficientes reales que satisface: $$P(x).P(x+1)=P(x^2+x+1),\forall x\in \mathbb{R}.$$ Demuestre que: $\deg(P)$ es un número par y halle $P(x).$

Sea $D{}$ un punto interior al triángulo $ABC$ . Sean $E{}$ y $F{}$ las proyecciones de $D{}$ sobre $AB$ y $AC$ , respectivamente. Las rectas $BD$ y $CD$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ por segunda vez en $M{}$ y $N{}$ , respectivamente. Demuestre que \[\frac{EF}{MN}\geqslant \frac{r}{R},\] donde $r{}$ y $R{}$ son el inradio y el circunradio de $ABC$ , respectivamente.

Considere fracciones $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (a) Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe una fracción $\frac{a}{b}$ de este tipo tal que $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}+1$ . (b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que ninguna fracción $\frac{a}{b}$ de este tipo satisface $\sqrt{n} \le \frac{a}{b} \le \sqrt{n+1}$ y $b \le \sqrt{n}$ .

Un cuadrado de lado $2008$ se divide en regiones que son todas cuadrados de lado $1$ . En cada región se escribe $0$ o $1$ , y el número de $1$ y de $0$ es el mismo. Se elimina la frontera entre dos de las regiones, y también se eliminan los números de cada una de ellas, mientras que en la nueva región se registra su media aritmética. Después de varias de estas operaciones, solo queda un cuadrado, que es el propio cuadrado grande. Demuestre que es posible realizar estas operaciones de tal manera que el número final en el cuadrado grande sea menor que $\frac{1}{2^{10^6}}$ .

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con $AB=AD$ , los puntos $M$ , $N$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ , respectivamente, de modo que $MN=BM+DN$ . Las rectas $AM$ y $AN$ cortan de nuevo a la circunferencia circunscrita de $ABCD$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que el ortocentro del triángulo $APQ$ se encuentra en el segmento $MN$ . Ovchinnikov

Suponga que $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ es una función para la cual la expresión $af(a)+bf(b)+2ab$ es siempre un cuadrado perfecto para todo $a,b \in \mathbb{N}$ . Demuestre que $f(a)=a$ para todo $a \in \mathbb{N}$ .

6 Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\omega$ . La circunferencia inscrita es tangente a $BC$ en $D$ . La perpendicular a $AI$ trazada en $I$ corta a $AB, AC$ en $E, F$ y la circunferencia $(AEF)$ corta a $\omega$ y a $AI$ en $G, H$ . La tangente a $\omega$ en $G$ corta a $BC$ en $J$ y $AJ$ corta a $\omega$ en $K$ . Demuestre que $(DJK)$ y $(GIH)$ son tangentes entre sí.

En un grafo simple con 300 vértices no hay dos vértices del mismo grado que sean adyacentes (boo hoo hoo). ¿Cuál es el número máximo posible de aristas en un grafo así?

Una circunferencia centrada en $A$ interseca los lados $AC$ y $AB$ de $\triangle ABC$ en $E$ y $F$ , y la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $X$ e $Y$ . Sea $D$ el punto sobre $BC$ tal que $AD$ , $BE$ , $CF$ concurren. Sean $P=XE\cap YF$ y $Q=XF\cap YE$ . Demuestre que el pie de la perpendicular trazada desde $D$ a $EF$ se encuentra sobre $PQ$ .