4 Sea $M$ un subconjunto de $\{1,2,..., 1998\}$ con $1000$ elementos. Demuestra que siempre es posible encontrar dos elementos $a$ y $b$ en $M$, no necesariamente distintos, tales que $a + b$ sea una potencia de $2$.

C3 Las casillas de una tabla de $8 \times 8$ están inicialmente en blanco. Alice y Bob juegan un juego. Primero Alice pinta $n$ de las casillas de rojo. Luego Bob elige $4$ filas y $4$ columnas de la tabla y pinta de negro todas las casillas que están en ellas. Alice gana si queda al menos una casilla roja. Halle el menor valor de $n$ tal que Alice puede ganar el juego sin importar cómo juegue Bob.

3 Sean $a,b,c$ números reales con $a$ distinto de cero. Se sabe que los números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ satisfacen las $n$ ecuaciones: \[ ax_1^2+bx_1+c = x_{2} \] \[ ax_2^2+bx_2 +c = x_3\] \[ \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots\] \[ ax_n^2+bx_n+c = x_1 \] Demuestre que el sistema tiene cero , una o más de una soluciones reales si $(b-1)^2-4ac$ es negativo , igual a cero o positivo , respectivamente.

1 Demuestre que para $k>10$ Nazar puede reemplazar en el siguiente producto algún $\cos$ por $\sin$ de modo que la nueva función $f_{1}(x)$ satisfaga la desigualdad $|f_{1}(x)|\le 3\cdot 2^{-1-k}$ para todo $x$ real . \[f(x) = \cos x \cos 2x \cos 3x \dots \cos 2^{k}x \] N. Agakhanov N.T.TUAN

2 Dado un entero $n > 2$, considera todas las sucesiones $x_1,x_2,...,x_n$ de números reales no negativos tales que $$x_1+ 2x_2 + ... + nx_n = 1.$$ Encuentra el valor máximo y el valor mínimo de $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2$ y determina todas las sucesiones $x_1,x_2,...,x_n$ para las cuales se obtienen estos valores.

Considere $\triangle XPQ$ y $\triangle YPQ$ tales que $X$ y $Y$ están en lados opuestos de $PQ$ y el circunradio de $\triangle XPQ$ y el circunradio de $\triangle YPQ$ son iguales. $I$ y $J$ son los incentros de $\triangle XPQ$ y $\triangle YPQ$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $PQ$ . Suponga que $I, M, J$ son colineales. Demuestre que $XPYQ$ es un paralelogramo.

9.5 Un punto $D$ está en el lado lateral $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ . El rayo $AD$ corta a la recta que pasa por $B$ y es paralela a la base $AC$ en el punto $E$ . Demuestre que la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ en $B$ biseca a $EC$ .

2 Determine el mcd de todos los números de la forma $p^8-1$ , con p un primo mayor que 5.

1 En el triángulo $\Delta ADC$ tenemos $AD=DC$ y $D=100^\circ$ . En el triángulo $\Delta CAB$ tenemos $CA=AB$ y $A=20^\circ$ . Demuestre que $AB=BC+CD$ .

2 Halle todos los pares de números reales $(x,y)$ que satisfacen $\left\{\begin{array}{rl} 2x^2+xy &=1 \\ \frac{9x^2}{2(1-x)^4}&=1+\frac{3xy}{2(1-x)^2} \end{array}\right.$