Considera el conjunto \(A = \{1, 2, ..., n\}\). Para cada entero \(k\), sea \(r_k\) la mayor cantidad de elementos distintos de \(A\) que podemos elegir de modo que la diferencia entre dos números elegidos sea siempre distinta de \(k\). Determina el mayor valor posible de \(r_k\), donde \(1 \le k \le \frac{n}{2}\).

Decimos que un entero \(n>1\) es soleado si es divisible por la suma de sus factores primos. Por ejemplo, \(90\) es soleado porque \[ 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \quad \text{y} \quad 2 + 3 + 5 = 10 \text{ divide a } 90. \] Demuestra que existe un número soleado con al menos \(10^{2002}\) factores primos distintos.

1 Basil necesita resolver un ejercicio de sumar dos fracciones $\dfrac{a}{b}$ y $\dfrac{c}{d}$ , donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son algunos números reales no nulos. Pero en lugar de sumar, realizó la multiplicación (correctamente). Resulta que la respuesta de Basil coincide con la respuesta correcta del ejercicio dado. Encuentra el valor de $\dfrac{b}{a} + \dfrac{d}{c}$ .

2 En Marte, un equipo de baloncesto consta de 6 jugadores. El entrenador del equipo Marte puede seleccionar cualquier alineación de 6 jugadores entre 100 candidatos. El entrenador considera que algunas alineaciones son apropiadas mientras que otras no lo son (existe al menos una alineación apropiada). Un conjunto de 5 candidatos se llama prometedor si se le puede agregar un candidato más para obtener una alineación apropiada. Un candidato se llama universal si completa cada conjunto prometedor de 5 candidatos (que no lo contengan) hasta una alineación apropiada. El entrenador ha seleccionado una alineación de 6 candidatos universales. Determina si se sigue que esta alineación es apropiada.

3 Encuentra el menor entero positivo \( n \) que satisface la siguiente afirmación: para cada par de enteros positivos \( a \) y \( b \) tales que \( 36 \) divide a \( a+b \) y \( n \) divide a \( ab \), se sigue que \( 36 \) divide tanto a \( a \) como a \( b \).

4 En un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB< BC$, sea $BH_b$ su altura, y sea $O$ el circuncentro. Una recta que pasa por $H_b$ paralela a $CO$ corta a $BO$ en $X$. Demuestra que $X$ y los puntos medios de $AB$ y $AC$ son colineales.

En un torneo de fútbol participaron $20$ equipos, y cada par de equipos jugó exactamente un partido. Por la victoria, el equipo recibe $3$ puntos, por el empate $1$ punto, y por la derrota no se otorgan puntos. El número total de puntos de todos los equipos en el torneo es $554$. Demuestra que existen $7$ equipos que tuvieron al menos un empate.

Un triángulo es cortado por $3$ cevianas desde sus $3$ vértices en $7$ piezas: $4$ triángulos y $3$ cuadriláteros. Determina si es posible que los $3$ cuadriláteros sean cíclicos.

Se dan $10$ números distintos. El profesor Odd calculó todos los productos posibles de $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ números entre los dados, y escribió la suma de todos estos productos. De manera similar, el profesor Even calculó todos los productos posibles de $2$, $4$, $6$, $8$, $10$ números entre los dados, y escribió la suma de todos estos productos. Resulta que la suma de Odd es mayor que la suma de Even en $1$. Demuestra que uno de los $10$ números dados es igual a $1$.

8 $100$ puntos están marcados en el plano de modo que no hay tres puntos marcados colineales. Uno de los puntos marcados es rojo, y los demás son azules. Un triángulo con vértices en puntos azules se llama bueno si el punto rojo está dentro de él. Determina si es posible que el número de triángulos buenos no sea menor que la mitad del número total de triángulos con vértices en puntos azules.