10.1 Demuestre que para cualquier entero positivo se pueden colocar todos sus divisores sobre una circunferencia de modo que, entre cualesquiera dos vecinos, uno sea múltiplo del otro.

10.2 Dado un entero positivo $n$ . Sobre el segmento $[0,n]$ de la recta real se eligen $m$ segmentos distintos cuyos extremos tienen coordenadas enteras. Resulta que es imposible elegir algunos de esos segmentos de modo que su longitud total sea $n$ y su unión sea $[0,n]$ . Halle el valor máximo posible de $m$ .

10.3 Por el punto $F(0,\frac{1}{4})$ del plano coordenado pasan dos rectas perpendiculares que intersecan a la parábola $y=x^2$ en los puntos $A,B,C,D$ ( $A_x<B_x<C_x<D_x$ ). La diferencia de las proyecciones de los segmentos $AD$ y $BC$ sobre la recta $Ox$ es $m$ . Halle el área de $ABCD$ .

10.4 Sobre la semicircunferencia con diámetro $AB$ y centro $O$ se marca el punto $D$. Los puntos $E$ y $F$ son los puntos medios de los arcos menores $AD$ y $BD$, respectivamente. Resultó que la recta que une los ortocentros de $ADF$ y $BDE$ pasa por $O$. Halle $\angle AOD$

10.5 Se dan $n$ enteros distintos, todos ellos mayores que $-a$, donde $a$ es un entero positivo. Resultó que la cantidad de números impares entre ellos es igual al mayor número par, y la cantidad de números pares es igual al mayor número impar. a) Halle el menor valor posible de $n$ para todo $a$. b) Para cada $a \geq 2$ halle el máximo valor posible de $n$

10.6 Las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan en $X$ e $Y$. Por el punto $Y$ pasan dos rectas, una de las cuales interseca a $\omega_1$ y $\omega_2$ por segunda vez en $A$ y $B$, y la otra en $C$ y $D$. La recta $AD$ interseca por segunda vez a las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ en $P$ y $Q$. Resultó que $YP=YQ$. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCY$ y $PQY$ son tangentes entre sí.

10.8 Se da una sucesión $a_1,\ldots,a_n$ de enteros positivos. Para cada $l$ desde $1$ hasta $n-1$ se considera la lista $(gcd(a_1,a_{1+l}),\ldots,gcd(a_n,a_{n+l}))$, donde los índices se toman módulo $n$. Resultó que todas estas listas constan de los mismos $n$ números distintos dos a dos y difieren solo, posiblemente, en su orden. ¿Puede $n$ ser a) $21$ b) $2021$?

11.3 Se marcan $2021$ puntos sobre una circunferencia. Se trazan $2021$ segmentos con extremos marcados. Después se cuenta el número de puntos distintos donde se intersecan algunos $2$ de los segmentos trazados (los extremos de los segmentos no cuentan como intersecciones). Halle el número máximo que se puede obtener.

10.7 Halle todos los enteros positivos $a$ para los cuales existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p(\sqrt{2}+1)=2-\sqrt{2}$ y $p(\sqrt{2}+2)=a$

9.8 ¿Existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros para el cual $$p(\sqrt{2})=\sqrt{2}$$ $$p(2\sqrt{2})=2\sqrt{2}+2$$ ?