N3 ¿Existen infinitos pares de números racionales positivos $(p,q)$ tales que \[p+q+\frac 1p+\frac 1q\] sea un entero? Rohan Bodke

G2 En el cuadrilátero $ABCD$ con $\angle BAD=\angle BCD$ , la diagonal $AC$ interseca la circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ en un punto $P \neq C$ . Sean $Q$ , $R$ , $S$ y $T$ las reflexiones de $P$ respecto a $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle AQT$ es tangente a la recta $RS$ . Benny Wang

C6 Sea $n$ un entero positivo. Alexandre llena cada celda de una cuadrícula de $n \times n$ con un entero entre $1$ y $n$ inclusive, de modo que no haya dos celdas que contengan el mismo número y compartan una fila o columna. Coloca una ficha en la celda superior izquierda. Puede mover la ficha entre dos celdas ortogonalmente adyacentes si y solo si los números en las celdas difieren en $1$ . Halle todos los $n$ para los cuales es posible que Alexandre llene la cuadrícula de manera que la ficha pueda moverse a cualquier celda de la cuadrícula. Benny Wang

N8 Sea $p \equiv 11 \pmod{12}$ un primo, y sea $S$ el conjunto de números complejos $a+bi$ con enteros $0 \le a, b < p$ . Escribimos también $z_1 \equiv z_2 \pmod p$ si $p$ divide las partes real e imaginaria de $z_1-z_2$ , y en caso contrario $z_1 \not\equiv z_2 \pmod p$ . Sea $T$ el conjunto de ternas ordenadas $(x,y,z) \in S^3$ tales que \[ \sum_{\text{cyc}} x|y-z|^2 \equiv 0 \pmod p \quad \text{and} \quad \prod_{\text{cyc}} (x^2-yz)(|x|^2-|y|^2) \not\equiv 0 \pmod p. \] Demuestre que $|T| \equiv (p-3) (p^2-1) \pmod{8p^2-8}$ . Karn Chutinan

A1 Sean $m,n,a_1,a_2,\dots,a_n$ enteros positivos y sea $r$ un número real. Demuestre que la ecuación \[\lfloor a_1x\rfloor+\lfloor a_2x\rfloor+\cdots+\lfloor a_nx\rfloor=sx+r\] tiene exactamente $ms$ soluciones en $x$ , donde $s=a_1+a_2+\cdots+a_n+\frac1m$ . Linus Tang

A2 Sea $n$ un entero positivo. Halle el número de sucesiones $a_0,a_1,a_2,\dots,a_{2n}$ de enteros en el intervalo $[0,n]$ tales que para todo entero $0\leq k\leq n$ y todo entero no negativo $m$ , existe un entero $k\leq i\leq 2k$ tal que $\lfloor k/2^m\rfloor=a_i.$ Andrew Carratu

G8 Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ círculos que se intersecan en $A$ y $B$ . Sea $\ell$ la tangente común de ambos círculos más cercana a $A$ . La recta que pasa por $A$ tangente a $\omega_1$ interseca a $\omega_2$ en $A$ y $C$ . Demuestre que existe un círculo tangente a $\omega_1,\omega_2,$ y a las rectas que pasan por $A$ y $C$ paralelas a $\ell$ . Michael Zhao

A4 El número $2024$ está escrito en una pizarra. Cada segundo, si existen enteros positivos $a,b,k$ tales que $a^k+b^k$ está escrito en la pizarra, puede escribir $a^{k'}+b^{k'}$ en la pizarra para cualquier entero positivo $k'.$ Halle todos los enteros positivos que puede escribir eventualmente en la pizarra. Srinivas Arun

N7 Sea $n$ un entero positivo y sea $p$ un primo. En términos de $n$ y $p$ , halle el mayor entero no negativo $k$ para el cual existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros que satisface las siguientes condiciones: El coeficiente de $x^n$ en $P(x)$ es $1$ . $p^k$ divide a $P(x)$ para todo entero $x$ . Aprameya Tripathy

A6 Sea $\mathbb R^+$ el conjunto de los números reales positivos. Halle todas las funciones $f:\mathbb R^+\to\mathbb R$ y $g:\mathbb R^+\to\mathbb R$ tales que para todos $x,y\in\mathbb R^+$ , $g(x)-g(y)=(x-y)f(xy)$ . Linus Tang