2020.2.3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en el vértice $C$ y sea $k$ un círculo de diámetro $AB$. La bisectriz del ángulo $\angle CAB$ interseca al círculo $k$ en el punto $D$ ($D\ne A$), y la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a ese círculo en el punto $E$ ($E\ne B$). Un círculo inscrito en el triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ y $AC$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que los puntos $D,E,F$ y $G$ están en la misma línea.

2017.3 Sea \(ABC\) un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el vértice \(C\). Un círculo \(k\) con diámetro \(AC\) interseca el lado \(AB\) en el punto \(D\), y la tangente al círculo \(k\) en el punto \(D\) interseca el lado \(BC\) en el punto \(E\). El círculo circunscrito alrededor del triángulo \(CDE\) interseca el lado \(AB\) en los puntos \(D\) y \(F\). Determina la razón de las áreas de los triángulos \(ABC\) y \(BEF\).

2020.1.3 Los círculos $k_1$ y $k_2$ son tangentes externamente en el punto $F$. La recta $t$ toca a los círculos $k_1$ y $k_2$ en los puntos $A$ y $B$, respectivamente. La recta $p$ paralela a la recta $t$ toca al círculo $k_2$ en el punto $C$ e interseca a $k_2$ en los puntos $D$ y $E$. (a) Demuestra que los puntos $A, F$ y $C$ están sobre la misma recta. (b) Demuestra que el punto $A$ es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $BDE$.

2021.3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro, y $M$ el punto medio del lado $BC$. El punto $N$ es el pie de la perpendicular trazada desde $H$ hasta $AM$. Demuestra que los puntos $B$, $C$, $N$ y $H$ están en la misma circunferencia.

2024.2.3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Demuestra que $|DE|+|DF| \le |BC|$.

2025.2.3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en el vértice $A$. Las tangentes a la circunferencia circunscrita de este triángulo en los puntos $B$ y $C$ se intersecan en el punto $D$. La circunferencia circunscrita del triángulo $BCD$ interseca a la recta $AB$ en el punto $K$ ($K \ne B$), y a la recta $AC$ en el punto $L$ ($L \ne C$). Demuestra que la recta $AD$ pasa por el punto medio del segmento $KL$.

Fernando tiene seis monedas, una de las cuales es falsa. No sabemos cuál es el peso de una moneda falsa ni el peso de una moneda real, solo sabemos que las monedas reales pesan todas lo mismo y que el peso de la moneda falsa es diferente. Usando una balanza de dos platillos, demuestra que es posible descubrir la moneda falsa con solo $3$ pesadas.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con $\angle BCA=90^{\circ}, BC=AC=10$. Sea $P$ un punto sobre $AB$ que está a una distancia $x$ de $A$, $Q$ un punto sobre $AC$ tal que $PQ$ es paralelo a $BC$. Sean $R$ y $S$ puntos sobre $BC$ tales que $QR$ es paralelo a $AB$ y $PS$ es paralelo a $AC$. La unión de los cuadriláteros $PBRQ$ y $PSCQ$ determina un área sombreada $f(x)$. Evalúa $f(2)$.

2a Un profesor pide a cada uno de once alumnos que escriba un número entero positivo de a lo más cuatro dígitos, cada uno en una nota adhesiva amarilla separada. Demuestra que si todos los números son diferentes, el profesor siempre puede seleccionar dos o más de las once notas de modo que el promedio de los números en las notas seleccionadas no sea un entero.

3a Sea \(ABC\) un triángulo. Sean \(E,F\) los pies de las alturas desde \(B,C\) respectivamente. Sean \(P,Q\) las proyecciones de \(B,C\) sobre la recta \(EF\). Demuestra que \(PE=QF\).