4 En el plano se dibuja un cuadrado con lados horizontales y verticales. En él se trazan varios segmentos paralelos a los lados, y no hay dos segmentos que estén sobre una misma recta o que se intersequen en un punto interior de ambos segmentos. Resulta que los segmentos dividen el cuadrado en rectángulos, y cualquier recta vertical que interseca el cuadrado y no contiene segmentos de la partición interseca exactamente $ k $ rectángulos de la partición, y cualquier recta horizontal que interseca el cuadrado y no contiene segmentos de la partición interseca exactamente $\ell$ rectángulos. ¿Cuántos rectángulos puede haber como máximo? I. Bogdanov, D. Fon-Der-Flaass

3 Halle todos los enteros positivos $k$ tales que para los primeros $k$ números primos $2, 3, \ldots, p_k$ existen enteros positivos $a$ y $n>1$ tales que $2\cdot 3\cdot\ldots\cdot p_k - 1=a^n$ . V. Senderov

1 Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios (mónicos) con coeficientes reales (el primer coeficiente igual a $1$ ) , y $\deg P(x)=\deg Q(x)=10$ . Demuestre que si la ecuación $P(x)=Q(x)$ no tiene soluciones reales, entonces $ P(x+1)=Q(x-1) $ tiene una solución real.

1 ¿Existe un número natural $n$ tal que para cualesquiera dígitos no nulos $a$ y $b$ \[\overline {ab}\ |\ \overline {anb}\ ?\] (Aquí $ \overline {x \ldots y} $ denota el número obtenido por la concatenación de los dígitos decimales $x$ , $\dots$ , $y$ .) V. Senderov

1 Se eligen $101$ números distintos entre los enteros comprendidos entre $0$ y $1000$ . Demuestre que, entre los valores absolutos de sus diferencias por pares, hay diez números distintos que no superan $100$ .

3 El director de la Casa de la Moneda quiere emitir 12 denominaciones de monedas (cada una, un número natural de rublos) de modo que cualquier cantidad de 1 a 6543 rublos pueda pagarse sin necesidad de dar cambio, usando no más de 8 monedas. ¿Puede hacerlo? (Para pagar una cantidad se pueden usar varias monedas de la misma denominación.)

1 Sean $a_1,\ldots a_{11}$ enteros positivos distintos, todos al menos $2$ y con suma $407$ . ¿Existe un entero $n$ tal que la suma de los $22$ residuos de la división de $n$ entre $a_1,a_2,\ldots ,a_{11},4a_1,4a_2,\ldots ,4a_{11}$ sea $2012$ ?

2 Un $2012$ - gono regular está inscrito en una circunferencia. Halle el máximo $k$ tal que podamos elegir $k$ vértices entre los $2012$ dados y construir un $k$ - gono convexo sin lados paralelos.

4 Los números reales positivos $a_1,\ldots ,a_n$ y $k$ son tales que $a_1+\cdots +a_n=3k$ , $a_1^2+\cdots +a_n^2=3k^2$ y $a_1^3+\cdots +a_n^3>3k^3+k$ . Demuestre que la diferencia entre algunos dos de $a_1,\ldots,a_n$ es mayor que $1$ .

1 $101$ sabios están de pie en un círculo. Cada uno de ellos piensa o bien que la Tierra orbita alrededor de Júpiter, o bien que Júpiter orbita alrededor de la Tierra. Una vez por minuto, todos los sabios expresan su opinión al mismo tiempo. Inmediatamente después, todo sabio que se encuentra entre dos personas con una opinión distinta de la suya cambia su propia opinión. Los demás no la cambian. Demuestre que en algún momento todos dejarán de cambiar de opinión.