Sea $D$ un punto arbitrario sobre el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Sea $H$ el ortocentro, $M$ el punto medio de $BC$ , y $F$ el punto simétrico de $D$ con respecto a $M$ . La recta $DH$ corta de nuevo a la circunferencia circunscrita en $E$ , y $P$ es el punto de intersección de las rectas $BC$ y $FH$ . Demuestre que $PH=PE$ . Propuesto por Rostyslav Pieshkov

3 Sean $\alpha:\: \mathbb{C}[x]\rightarrow \mathbb{Z}_{\geq0}$ y $\beta:\: \mathbb{C}[x]\rightarrow \mathbb{Z}_{\geq0}$ el número de raíces complejas distintas de un polinomio y la mayor multiplicidad de una raíz, respectivamente. Demuestre que, para cualesquiera polinomios $P,Q \in \mathbb{C}[x]$ que satisfacen $\operatorname{deg}P > \operatorname{deg}Q$ y $\operatorname{gcd}(P,Q)=1$ , se tiene: $$\alpha(P^2+PQ) \geq \frac{\operatorname{deg}P}{\operatorname{deg}P-\beta(Q)+1}+1\text{.}$$

1 En un medio (semiplano superior), la velocidad es proporcional a $y$ . Demuestre que la braquistócrona $y = y(x)$ satisface $y \sqrt{1 + y'^2} = R$ (donde $R$ es una constante). Verifique que $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ satisface la ecuación anterior. Para cualquier trayectoria $(x(t), y(t)) \ (t_0 \le t \le t_1)$ que satisface $x(t_0) = x(t_1) = x_0$ , $y(t_0) = y_0$ , $y(t_1) = y_1$ , la trayectoria de tiempo más corto se logra con $x(t) = x_0, y(t) = t$ .

Sea $n\ge3$ y sean $x_1,x_2,\dots,x_n$ números reales positivos tales que $x_1+x_2+\cdots+x_n=n$ . Demuestre que \[ \sum_{i=1}^n \frac{x_i^3}{x_i^2+x_{i+1}x_{i+2}} \ge \frac{n}{2}, \] donde los índices se toman módulo $n$ . Propuesto por Pavlo Protsenko

4 Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ los vértices de un cuadrilátero inscrito en la circunferencia unitaria. Sea $P$ un punto en el interior del cuadrilátero $ABCD$ . Muestre que \[ |PA||PB||PC||PD| < \frac{27}{16}, \] donde $|PX|$ es la longitud del segmento de recta $PX$ .

2 Sean $m$ y $n$ enteros no negativos. $\beta$ e tinha tiene un tablero en el que, inicialmente, estaban escritos los números $2^n$ y $-2^n$ . Una operación válida consiste en borrar dos números $x$ e $y$ y reemplazarlos por los siguientes cuatro números: $$\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2},\frac{y-x}{2}\text{.}$$ ¿Cuál es el número mínimo de operaciones que $\beta$ e tinha debe hacer para que todos los números del tablero pertenezcan al intervalo $[-1,2^m]$ ?

1 Halle todas las funciones $f:\: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$ , se tiene: $$f(f(a)+b)+af(b)=f(ab)+f(a)+f(f(b))\text{.}$$

1 Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con $M$ el punto medio de $BC$ . Trace la perpendicular $HP$ desde el ortocentro $H$ de $ABC$ hasta $AM$ . Demuestre que $AM\cdot PM=BM^2$ .

1 Suponga que $\alpha$ , $\beta$ son las raíces del polinomio $x^2+bx+c$ . Sea $p>2$ un primo que satisface las condiciones: $p$ divide a $b$ , $p$ divide a $c$ , pero $p^2$ no divide a $c$ . Halle la mayor potencia de $p$ que divide a $\alpha^{4}+\beta^4$ . Halle la mayor potencia de $p$ que divide a $\alpha^8+\beta^8$ . Para cualquier entero positivo $n$ , halle la mayor potencia de $p$ que divide a $\alpha^{2^n}+\beta^{2^n}$ .

4 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que existen $x_1,x_2,\dots,x_n \in \mathbb{Q}^{*}$ que satisfacen: $$x_1+x_2+\dots+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}=n\text{.}$$