1 Halle todas las funciones $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ tales que $$\dfrac{f(x)f(y)}{f(xy)} = \dfrac{\left( \sqrt{f(x)} + \sqrt{f(y)} \right)^2}{f(x+y)}$$ se cumple para todos los números racionales positivos $x, y$ .

9 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las bisectrices internas de $\angle {BAC}$ y $\angle {BDC}$ se cortan en $P$. $\angle {APB}=\angle {CPD}$. Demuestra que $AB+BD=AC+CD$.

3 En un campamento de verano sobre Matemáticas Aplicadas, hay $8m+1$ niños (con $m > 5$ ) y algunas niñas. Cada niña es amiga de exactamente $3$ niños y, para cualesquiera $2$ niños, hay exactamente $1$ niña que es su amiga en común. Sea $n$ el mayor número de niñas que pueden elegirse del campamento para formar un grupo tal que todo niño sea amigo de a lo sumo $1$ niña del grupo. Demuestre que $n \geq 2m+1$ .

4 Halle todos los enteros positivos $k$ para los cuales hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\binom{(2025+k)n}{2025n}$ no es divisible por $kn+1$ .

5 Hay una cuadrícula de $n \times n$ cuyas filas y columnas están numeradas del $1$ al $n$ ; la celda en la fila $i$ y la columna $j$ se denota como la celda en $(i, j)$ . Un subconjunto $A$ de las celdas se llama bueno si para cualesquiera dos celdas en $(x_1, y), (x_2, y)$ de $A$ , las celdas $(u, v)$ que satisfacen $x_1 < u \leq x_2, v<y$ o $x_1 \leq u < x_2, v>y$ no están en $A$ . Determine el número mínimo de conjuntos buenos tales que sean disjuntos dos a dos y toda celda del tablero pertenezca exactamente a un conjunto bueno.

3b Una $2024$ - tabla es una tabla con dos filas y $2024$ columnas que contiene todos los números $1,2,\dots,4048$ . Una tabla así está coloreada uniformemente si exactamente la mitad de los números de cada fila, y un número de cada columna, está coloreado de rojo. La suma roja en una $2024$ - tabla uniformemente coloreada es la suma de todos los números rojos de la tabla. Sea $N$ el mayor número tal que toda $2024$ - tabla tiene un coloreado uniforme con suma roja $\ge N$ . Determine $N$ , y halle el número de $2024$ - tablas tales que todo coloreado uniforme de la tabla tiene suma roja $\le N$ .

3 Evalúe la integral $\int_0^{\infty} \frac{\log(x+2)}{x^2+3x+2}\mathrm{d}x$ .

4 Sea $n$ un entero positivo. Una clase de $n$ estudiantes corre $n$ carreras, en cada una de las cuales se les clasifica sin empates. Un estudiante es elegible para una calificación $(a,\,b)$ para enteros positivos $a$ y $b$ si queda en los primeros $b$ lugares en al menos $a$ de las carreras. Su puntuación final es el máximo valor posible de $a-b$ entre todas las calificaciones para las que es elegible. Encuentra la suma máxima posible de todas las puntuaciones de los $n$ estudiantes. Propuesto por William Steinberg, Australia KevinYang2.71

10.1 Los reales $x, y$ satisfacen $x(x-6)\leq y(4-y)+7$ . Halle los valores mínimo y máximo de la expresión $x+2y$ .

2a Se deben elegir enteros positivos $a_0<a_1<\dots<a_n$ , de modo que $a_j-a_i$ no sea primo para cualesquiera $i,j$ con $0 \le i <j \le n$ . Para cada $n \ge 1$ , determine el menor valor posible de $a_n$ .