1. Se da un rectángulo con perímetro $x$ cm y longitudes de sus lados en una razón $1:2$ . Suponga que el área del rectángulo es también $x$ $\text{cm}^2$ . Determine todos los valores posibles de $x$ .

. ¿Qué número es mayor: $\frac{1}{5001}+\frac{1}{5002}+\ldots+\frac{1}{5100}$ o $\frac{1}{49}$ ? Justifique su respuesta. P6. El dueño de una cerradura de código olvidó el código de dos cifras ( $00-99$ ) usado para abrirla. Solo recuerda que la suma de sus cifras es $12$ . ¿Cuál es el número mínimo de intentos que debe realizar para garantizar la apertura de la cerradura? P7. Se sabe que $p$ y $p^{2}+2$ son números primos. Demuestre que $p^{3} + 2$ también es primo. P8. Anuar, Bauyrzhan, Saken y Dauren tienen pesos todos diferentes. Anuar pesa $8kg$ más que Saken, y Dauren pesa $4kg$ más que Bauyrzhan. La suma de los pesos de la persona más pesada y la más liviana es $2kg$ menor que la suma de las otras dos. Entre los cuatro pesan $402kg$ . ¿Cuánto pesa Anuar?

Sea $f:[1,\infty)\to(0,\infty)$ una función continua. Suponga que para todo $a>0$ la ecuación $f(x)=ax$ tiene al menos una solución en el intervalo $[1,\infty)$ . (a) Demuestre que para todo $a>0$ la ecuación $f(x)=ax$ tiene infinitas soluciones. (b) Dé un ejemplo de una función continua estrictamente creciente $f$ con estas propiedades.

2. Determine todos los enteros positivos $x$ , $y$ , $k$ y $n$ tales que: $10^x$ + $10^y$ + $n!$ = $2024^k$

Sea $(x_n)_{n\geq 1}$ la sucesión definida por $x_1\in (0,1)$ y $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2}{\sqrt{n}}$ para todo $n\geq 1$ . Halle los valores de $\alpha\in\mathbb{R}$ para los cuales la serie $\sum_{n=1}^{\infty}x_n^{\alpha}$ es convergente.

A3 $\boxed{A3}$ La sucesión $a_1,a_2,a_3,...$ está definida por $a_1=a_2=1$, $a_{2n+1}=2a_{2n}-a_n$ y $a_{2n+2}=2a_{2n+1}$ para $n\in{N}.$ Demuestra que si $n>3$ y $n-3$ es divisible por $8$, entonces $a_n$ es divisible por $5$. Orkhan-Ashraf_2002

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ y la mediana $AM.$ Trace $BH\perp AC.$ La recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AM$ interseca a $BH$ en $E.$ Sobre el rayo opuesto al rayo $AE$ elija $F$ tal que $AE=AF.$ Demuestre que $CF\perp AB.$

C5 Un cazador y un conejo invisible juegan un juego en el plano euclidiano. El punto de partida del conejo, $A_0,$ y el punto de partida del cazador, $B_0$ son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo está en el punto $A_{n-1}$ y el cazador en el punto $B_{n-1}.$ En la $n^{\text{th}}$ ronda del juego, tres cosas ocurren en orden: El conejo se mueve invisiblemente a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n-1}$ y $A_n$ es exactamente $1.$ Un dispositivo de rastreo reporta un punto $P_n$ al cazador. La única garantía que el dispositivo de rastreo proporciona al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es a lo sumo $1.$ El cazador se mueve visiblemente a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente $1.$ ¿Es siempre posible, sin importar cómo se mueva el conejo, ni qué puntos reporte el dispositivo de rastreo, que el cazador elija sus movimientos de modo que después de $10^9$ rondas pueda asegurar que la distancia entre ella y el conejo es a lo sumo $100?$ Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria

A1 Demuestre que para todos los números reales positivos $a,b,c,d$ , $$\frac{2}{(a+b)(c+d)+(b+c)(a+d)} \leq \frac{1}{(a+c)(b+d)+4ac}+\frac{1}{(a+c)(b+d)+4bd}$$ y determine cuándo ocurre la igualdad.

C2 Alicia y Bob juegan al siguiente juego: Comienzan con montones de monedas no vacíos. Turnándose, con Alicia jugando primero, cada jugador elige un montón con un número par de monedas y mueve la mitad de las monedas de ese montón al otro montón. El juego termina si un jugador no puede moverse, en cuyo caso el otro jugador gana. Determina todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que si inicialmente los dos montones tienen $a$ y $b$ monedas respectivamente, entonces Bob tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Dimitris Christophides, Chipre