6 Sea \( ABCD \) un cuadrilátero convexo sin pares de lados paralelos, tal que \( \angle ABC = \angle CDA \). Supón que las intersecciones de los pares de bisectrices adyacentes de \( ABCD \) forman un cuadrilátero convexo \( EFGH \). Sea \( K \) la intersección de las diagonales de \( EFGH \). Demuestra que las rectas \( AB \) y \( CD \) se cortan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo \( BKD \).

3 Demuestre que no es posible cubrir un tablero cuadrado de $6\times 6$ con dieciocho rectángulos de $2\times 1$ , de modo que cada una de las rectas que recorren las líneas interiores de la cuadrícula corte al menos uno de los rectángulos. Demuestre también que es posible cubrir un rectángulo de $6\times 5$ con quince rectángulos de $2\times 1 $ de modo que se cumpla la condición anterior.

2 Hay $64$ casillas alrededor de una mesa circular y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casillas correspondientes están numeradas del $1$ al $64$ en este orden. En el centro de la mesa hay $1996$ bombillas que están todas apagadas. Cada minuto las fichas se mueven simultáneamente de manera circular (siguiendo el sentido de la numeración) como sigue: la ficha $1$ se mueve una casilla, la ficha $2$ se mueve dos casillas, etc., de modo que más de una ficha puede estar en la misma casilla. En cualquier minuto, por cada ficha que comparte casilla con la ficha $1$ se enciende una bombilla. ¿Dónde está la ficha $1$ en el primer minuto en que todas las bombillas están encendidas?

1 $AB$ es el diámetro de la circunferencia $O$ , $CD$ es una cuerda que no es diámetro y es perpendicular a $AB$ . Sea $E$ el punto medio de $OC$ , trace $AE$ y prolónguelo hasta que corte a la circunferencia en el punto $P$ . Sean $DP$ y $BC$ rectas que se cortan en el punto $F$ . Demuestre que $F$ es el punto medio de $BC$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $D, E, F$ los pies de las alturas trazadas sobre $BC, CA, AB$ respectivamente. Uno de los puntos de intersección de la recta $EF$ con la circunferencia circunscrita es $P.$ Las rectas $BP$ y $DF$ se cortan en el punto $Q.$ Demuestre que $AP = AQ.$ Propuesto por Christopher Bradley, Reino Unido Amir

7 Encuentra todos los tripletes $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que \[ x^y + y^x = z^y \] \[ x^y + 2012 = y^{z+1} \]

2012 g8.6 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < BC$ , y sean $E$ y $F$ puntos en $AC$ y $AB$ tales que $BF = BC = CE$ , ambos en el mismo semiplano que $A$ con respecto a $BC$ . Sea $G$ la intersección de $BE$ y $CF$ . Sea $H$ un punto en la paralela que pasa por $G$ a $AC$ tal que $HG = AF$ (con $H$ y $C$ en semiplanos opuestos con respecto a $BG$ ) . Muestre que $\angle EHG = \frac{\angle BAC}{2}$ .

10.6 Los círculos $\Omega$ y $\omega_a$ son el circuncírculo y el excírculo opuesto a $A$ de algún triángulo $ABC$. Sean $I_b, I_c$ los centros de los dos excírculos restantes, y $A_b, A_c$ los puntos de tangencia de las extensiones de $AB, AC$ con $\omega_a$. Demuestra que el punto de intersección de las rectas $A_bI_b$ y $A_cI_c$ no depende del triángulo $ABC$. Propuesto por Ya. Scherbatov.

5 Nivel intermedio, problema

En el triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita, con centro $I$, toca el lado $BC$ en el punto $D$. La recta $DI$ corta a $AC$ en $X$. La recta tangente desde $X$ a la circunferencia inscrita (distinta de $AC$) interseca a $AB$ en $Y$. Si $YI$ y $BC$ se cortan en el punto $Z$, demuestra que $AB=BZ$. Propuesto por Hooman Fattahimoghaddam.