2 Xenia y Sergey juegan el siguiente juego. Xenia piensa en un entero positivo $N$ que no excede $5000$. Luego fija $20$ enteros positivos distintos $a_1, a_2, \cdots, a_{20}$ tales que, para cada $k = 1,2,\cdots,20$, los números $N$ y $a_k$ son congruentes módulo $k$. En un movimiento, Sergey le dice a Xenia un conjunto $S$ de enteros positivos que no exceden $20$, y ella le responde con el conjunto $\{a_k : k \in S\}$ sin especificar qué número corresponde a qué índice. ¿Cuántos movimientos necesita Sergey para determinar con certeza el número que Xenia pensó? Sergey Kudrya, Rusia

A3 $\boxed{A3}$ La sucesión $a_1,a_2,a_3,...$ está definida por $a_1=a_2=1$, $a_{2n+1}=2a_{2n}-a_n$ y $a_{2n+2}=2a_{2n+1}$ para $n\in{N}.$ Demuestra que si $n>3$ y $n-3$ es divisible por $8$, entonces $a_n$ es divisible por $5$. Orkhan-Ashraf_2002

4 ¿Existe un número natural $ n > 10^{1000}$ que no sea divisible por 10 y que satisfaga: en su representación decimal se pueden intercambiar dos cifras distintas no nulas de modo que el conjunto de divisores primos no cambie?

Sea $f:[1,\infty)\to(0,\infty)$ una función continua. Suponga que para todo $a>0$ la ecuación $f(x)=ax$ tiene al menos una solución en el intervalo $[1,\infty)$ . (a) Demuestre que para todo $a>0$ la ecuación $f(x)=ax$ tiene infinitas soluciones. (b) Dé un ejemplo de una función continua estrictamente creciente $f$ con estas propiedades.

2 Suponga que $f$ es una función continua de $[0,2]$ a $\mathbb{R}$ y $f(0)=f(2)$ . Demuestre que existen $x_1$ y $x_2$ en $[0,2]$ tales que $x_2-x_1=1$ y $f(x_2)=f(x_1)$ .

Sea $(x_n)_{n\geq 1}$ la sucesión definida por $x_1\in (0,1)$ y $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2}{\sqrt{n}}$ para todo $n\geq 1$ . Halle los valores de $\alpha\in\mathbb{R}$ para los cuales la serie $\sum_{n=1}^{\infty}x_n^{\alpha}$ es convergente.

4 Hay $6$ puntos en el plano tales que no hay tres de ellos colineales. Se sabe que entre cada $4$ puntos de ellos, existe un punto cuya potencia con respecto al círculo que pasa por los otros tres puntos es un valor constante $k$ . (La potencia de un punto en el interior de un círculo tiene valor negativo.) Demuestre que $k=0$ y que los $6$ puntos están sobre un círculo. Propuesto por Morteza Saghafian

Se dan veintidós conjuntos diferentes de cinco elementos, tales que cualesquiera dos de ellos tienen exactamente dos elementos en común. Demuestre que todos ellos tienen dos elementos en común.

G8 Dado un triángulo acutángulo $ABC$ ( $AC\ne AB$ ) y sea $(C)$ su circunferencia circunscrita. La excircunferencia $(C_1)$ correspondiente al vértice $A$ , de centro $I_a$ , es tangente al lado $BC$ en el punto $D$ y a las prolongaciones de los lados $AB,AC$ en los puntos $E,Z$ respectivamente. Sean $I$ y $L$ los puntos de intersección de las circunferencias $(C)$ y $(C_1)$ , $H$ el ortocentro del triángulo $EDZ$ y $N$ el punto medio del segmento $EZ$ . La recta paralela por el punto $l_a$ a la recta $HL$ corta a la recta $HI$ en el punto $G$ . Demuestra que la recta perpendicular $(e)$ por el punto $N$ a la recta $BC$ y la recta paralela $(\delta)$ por el punto $G$ a la recta $IL$ se cortan sobre la recta $HI_a$ .

Hay 100 platillos en un círculo. Dos personas se turnan para poner mermelada de varios colores en platillos vacíos. La primera persona puede elegir uno o tres platillos vacíos y llenar cada uno de ellos con mermelada de un color arbitrario. La segunda puede elegir un platillo vacío y llenarlo con mermelada de un color arbitrario. No debe haber dos platillos adyacentes con mermelada del mismo color. El juego termina cuando todos los platillos están llenos. El perdedor es el último jugador en introducir un nuevo color de mermelada en el juego. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?