2 Halle todas las funciones f:N $\longrightarrow$ N tales que: a) $f(m)=1 \Longleftrightarrow m=1 $ b) $d=gcd(m,n) f(m\cdot n)= \frac{f(m)\cdot f(n)}{f(d)} $ c) $ f^{2000}(m)=f(m) $ Omid

3 En un plano se trazan un círculo $\Gamma$ de radio $R$ y centro $\omega$ , y una recta $d$ , de modo que la distancia de $\omega$ a $d$ sea mayor que $R$ . Dos puntos $M$ y $N$ varían sobre $d$ de manera que el círculo de diámetro $MN$ es tangente a $\Gamma$ . Demuestre que existe un punto $P$ en el plano desde el cual todos los segmentos $MN$ se ven bajo un ángulo constante. Amir.S

1 Sea $n$ un entero positivo. Suponga que $S$ es un conjunto de $n-\mbox{tuples}$ ordenados de enteros no negativos tal que, siempre que $(a_1,\dots,an)\in S$ y los $b_i$ sean enteros no negativos con $b_i\le a_i$ , el $n-\text{tuple}$ $(b_1,\dots,b_n)$ también pertenece a $S$ . Si $h_m$ es el número de elementos de $S$ cuya suma de componentes es igual a $m$ , demuestre que $h_m$ es un polinomio en $m$ para todo $m$ suficientemente grande. Amir.S

2 Suponga que $a, b, c$ son números reales tales que, para todos los números positivos $x_1,x_2,\dots,x_n$ , se tiene $(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i)^a(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2)^b(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^3)^c\ge 1$ . Demuestre que el vector $(a, b, c)$ es una combinación lineal no negativa de los vectores $(-2,1,0)$ y $(-1,2,-1)$ . Amir.S

3 Sea $ABC$ un triángulo dado. Considere cualquier coloración de los puntos del plano en rojo y verde. Demuestre que existen, o bien dos puntos rojos a distancia $1$ , o bien tres puntos verdes que forman un triángulo congruente con el triángulo $ABC$ . Amir

1 Los números reales $a,b,c$ con $bc\neq0$ satisfacen $\frac{1-c^2}{bc}\geq0.$ Demuestre que $10(a^2+b^2+c^2-bc^3)\geq2ab+5ac.$

2009.3.2 El círculo inscrito de un triángulo acutángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $A_1$, $B_1$ y $C_1$. Sean $K_A$, $K_B$ y $K_C$ los círculos inscritos de los triángulos $AB_1C_1$, $A_1BC_1$ y $A_1B_1C$. Denota por $t_a$ la tangente común a los círculos $K_B$ y $K_C$, que interseca los lados $AB$ y $AC$, y no el lado $BC$. Denota por $t_b$ la tangente común a los círculos $K_A$ y $K_C$, que interseca el lado $AB$ y $BC$, pero no el lado $AC$. Denota por $t_c$ la tangente común a los círculos $K_A$ y $K_B$, que interseca el lado $AC$ y $BC$, pero no el lado $AB$. Demuestra que las rectas $t_a$, $t_b$ y $t_c$ se intersecan en un punto.

2 Sea $ABCD$ un pentágono convexo tal que \[\angle DCB = \angle DEA = 90^\circ, \ \text{and} \ DC=DE.\] Sea $F$ un punto de $AB$ tal que $AF:BF=AE:BC$ . Demuestre que \[\angle FEC= \angle BDC, \ \text{and} \ \angle FCE= \angle ADE.\]

1 Defina la sucesión $(x_n)$ mediante $x_0 = 0$ y, para todo $n \in \mathbb N,$ \[x_n=\begin{cases} x_{n-1} + (3^r - 1)/2,&\mbox{ if } n = 3^{r-1}(3k + 1);\\ x_{n-1} - (3^r + 1)/2, & \mbox{ if } n = 3^{r-1}(3k + 2).\end{cases}\] donde $k \in \mathbb N_0, r \in \mathbb N$ . Demuestre que todo entero aparece en esta sucesión exactamente una vez. Amir

3 Demuestre que para todo número natural $ n$ existe un polinomio $ p(x)$ con coeficientes enteros tal que $ p(1),p(2),...,p(n)$ son potencias distintas de $ 2$ . Amir.S