3 Sea $n \geq 2$ un entero. Hay $n$ círculos distintos en posición general, es decir, cualesquiera dos de ellos se cortan en dos puntos distintos y no hay tres de ellos que se corten en un mismo punto. Dichos círculos dividen el plano en regiones limitadas por arcos circulares, que se cortan en vértices (nótese que cada círculo tiene exactamente $2n-2$ vértices). Para cada círculo, coloree temporalmente sus vértices alternadamente de negro y blanco (nótese que, al hacer esto, cada vértice es coloreado dos veces, una por cada círculo que pasa por él). Si las dos coloraciones temporales de un vértice coinciden, este vértice queda coloreado definitivamente con ese color común; en caso contrario, quedará coloreado de gris. Demuestre que si un círculo tiene más de $n-2 + \sqrt{n-2}$ puntos grises, entonces todos los vértices de alguna región son grises. Observación: En este problema, una región no puede contener vértices ni arcos circulares en su interior. Además, la región exterior de todos los círculos también cuenta como región.

4 Considere un tablero cuadriculado $2m \times 2n$ , $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$ . Se coloca una piedra en una de las casillas unitarias del tablero, distinta de la casilla superior derecha y de la casilla inferior izquierda. Un caracol parte de la casilla inferior izquierda y quiere llegar a la casilla superior derecha, moviéndose de una casilla a otra adyacente, una casilla a la vez (dos casillas son adyacentes si comparten un lado). Determine todas las casillas en las que puede estar la piedra para que el caracol pueda completar su recorrido visitando cada casilla exactamente una vez, excepto la casilla con la piedra, que el caracol no visita.

5 Cuatro enteros positivos $x,y,z$ y $t$ satisfacen las relaciones \[ xy - zt = x + y = z + t. \] ¿Es posible que tanto $xy$ como $zt$ sean cuadrados perfectos?

6 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Omega$ e incentro $I$ . Una recta $\ell$ interseca las rectas $AI$ , $BI$ y $CI$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente, distintos de los puntos $A$ , $B$ , $C$ e $I$ . Las mediatrices $x$ , $y$ y $z$ de los segmentos $AD$ , $BE$ y $CF$ , respectivamente, determinan un triángulo $\Theta$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $\Theta$ es tangente a $\Omega$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $\angle A > 60^\circ$ , y sea $H$ su ortocentro. Sean $M$ y $N$ puntos de $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $\angle HMB = \angle HNC = 60^\circ$ . Además, sea $O$ el circuncentro de $HMN$ y sea $D$ un punto del semiplano determinado por $BC$ que contiene a $A$ , de modo que $DBC$ sea equilátero. Demuestre que $H$ , $O$ y $D$ son colineales.

2 Decimos que una distribución de estudiantes alineados en columnas es $\textit{bacana}$ cuando no hay dos amigos en la misma columna. Sabemos que todos los participantes de una olimpiada de matemáticas pueden ser dispuestos en una configuración $\textit{bacana}$ con $n$ columnas, y que esto es imposible con $n-1$ columnas. Demuestre que podemos elegir competidores $M_1, M_2, \cdots, M_n$ de tal manera que $M_i$ esté en la $i$ - ésima columna, para cada $i = 1, 2, 3, \ldots, n$ , y que $M_i$ sea amigo de $M_{i+1}$ para cada $i = 1, 2, \ldots, n - 1$ .

1 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=BC=CD$ , $\angle{EAB}=\angle{BCD}$ y $\angle{EDC}=\angle{CBA}$ . Demuestre que la recta perpendicular trazada desde $E$ a $BC$ y los segmentos $AC$ y $BD$ son concurrentes.

3 Sea $n \geq 2$ un entero y sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales positivos tales que $\sum_{i=1}^nx_i=1$ . Demuestre que $$\bigg(\sum_{i=1}^n\frac{1}{1-x_i}\bigg)\bigg(\sum_{1 \leq i < j \leq n}x_ix_j\bigg) \leq \frac{n}{2}.$$

1 Sea $n \ge 1$ un entero. Para cada subconjunto $S \subset \{1, 2, \ldots , 3n\}$ , sea $f(S)$ la suma de los elementos de $S$ , con $f(\emptyset) = 0$ . Determine, en función de $n$ , la suma $$\sum_{\mathclap{\substack{S \subset \{1,2,\ldots,3n\}\\ 3 \mid f(S)}}} f(S)$$ donde $S$ recorre todos los subconjuntos de $\{1, 2,\ldots, 3n\}$ tales que $f(S)$ es un múltiplo de $3$ .

2 Sir Alex juega el siguiente juego en una fila de 9 casillas. Inicialmente, todas las casillas están vacías. En cada movimiento, a Sir Alex se le permite realizar exactamente una de las siguientes dos operaciones: Elegir cualquier número de la forma $2^j$ , donde $j$ es un entero no negativo, y colocarlo en una casilla vacía. Elegir dos casillas (no necesariamente adyacentes) que contengan el mismo número; denote ese número por $2^j$ . Reemplazar el número en una de las casillas por $2^{j+1}$ y borrar el número de la otra casilla. Al final del juego, una casilla contiene $2^n$ , donde $n$ es un entero positivo dado, mientras que las demás casillas están vacías. Determine el número máximo de movimientos que Sir Alex podría haber realizado, en términos de $n$ . Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia