3 Tadeo dibuja el rectángulo con el mayor perímetro que se puede dividir en $2015$ cuadrados de lado $1$ $cm$ y el rectángulo con el menor perímetro que se puede dividir en $2015$ cuadrados de lado $1$ $cm$. ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los rectángulos que dibujó Tadeo?

1 Se da un triángulo $ABC$ con ortocentro $H$ . $P$ es un punto variable sobre la recta $BC$ . La perpendicular a $BC$ que pasa por $P$ corta a $BH$ , $CH$ en $X$ , $Y$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ paralela a $BC$ corta a $AP$ en $Q$ . Las rectas $QX$ y $QY$ cortan a $BC$ en $U$ , $V$ respectivamente. Halle la forma del lugar geométrico de los incentros de los triángulos $QUV$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Demuestre que existe una recta $l$ que es paralela a $BC$ y tangente a las circunferencias inscritas de $ABH$ y $ACH$ .

1 Sean $a,b,c$ números positivos que satisfacen $ab+bc+ca+2abc=1$ . Demuestre que $4a+b+c \geq 2$ .

2 Rothschild el benefactor tiene cierta cantidad de monedas. Un hombre llega, y Rothschild quiere compartir sus monedas con él. Si tiene un número par de monedas, le da la mitad de ellas al hombre y se va. Si tiene un número impar de monedas, dona una moneda a la caridad para poder tener un número par de monedas, pero mientras tanto llega otro hombre. Así que ahora tiene que compartir sus monedas con otras dos personas. Si es posible hacerlo en partes iguales, lo hace y se va. De lo contrario, dona de nuevo algunas monedas a la caridad (no más de 3). Mientras tanto, llega otro hombre más. Esto continúa hasta que Rothschild pueda dividir sus monedas en partes iguales o hasta que se quede sin dinero. ¿Existe un número natural $N$ tal que si Rothschild tiene al menos $N$ monedas al principio, terminará con al menos una moneda?

3 Demuestre que existe un elipsoide tangente a todas las aristas de un octaedro si y solo si las diagonales del octaedro se intersecan. (Aquí un octaedro es un poliedro formado por ocho caras triangulares, doce aristas y seis vértices, tal que cuatro caras se encuentran en cada vértice. Las diagonales de un octaedro son las rectas que conectan pares de vértices no conectados por una arista).

4 Se da un 60-gono regular. ¿Cuál es el tamaño máximo de un subconjunto de sus vértices que no contenga triángulos isósceles?

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera reales $x,y$ se cumple lo siguiente: \[f(x\cdot f(x+y))+f(f(y)\cdot f(x+y))=(x+y)^2\]

2 Halle todas las $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen (para todo $x,y \in \mathbb{R}$ ): $f(x+y)^2 - f(2x^2) = f(y-x)f(y+x) + 2x\cdot f(y)$ .

3 En cada casilla de un tablero de $n$ x $n$ duerme un dragón. Dos dragones se llaman vecinos si sus casillas tienen un lado en común. En cada turno, Minnie despierta a un dragón que tiene un vecino vivo y Max lo dirige hacia uno de sus vecinos vivos. El dragón entonces lanza fuego sobre ese vecino y lo destruye, y luego vuelve a dormir. El objetivo de Minnie es minimizar los ronquidos de los dragones y dejar la menor cantidad posible de dragones vivos. Max es miembro de PETD (Personas por el Trato Ético de los Dragones), y quiere salvar a tantos dragones como pueda. ¿Cuántos dragones quedarán vivos al final si 1. $n=4$ ? 2. $n=5$ ?