4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\omega$ . Suponga que un círculo $\omega_B$ es tangente a $BA,BC$ y tangente interiormente a $\omega$ en $B_1$ , mientras que un círculo $\omega_C$ es tangente a $CA, CB$ y tangente interiormente a $\omega$ en $C_1$ . Si $B_2, C_2$ son los puntos opuestos a $B,C$ sobre $\omega$ , respectivamente, y $X$ denota la intersección de $B_1C_2, B_2C_1$ , demuestre que $XA=XI$ . Propuesto por Vincent Huang y Nathan Weckwerth

1 Sea $n\ge2$ un entero positivo. Los números $1,2,..., n^2$ se colocan consecutivamente en las casillas de una cuadrícula de $n\times n$ , de modo que la primera fila contiene $1,2,...,n$ de izquierda a derecha, la segunda fila contiene $n+1,n+2,...,2n$ de izquierda a derecha, y así sucesivamente. El valor de cuadrado mágico de una cuadrícula se define como el número de filas, columnas y diagonales principales cuyos elementos tienen un valor promedio de $\frac{n^2 + 1}{2}$ . Demuestre que el valor de cuadrado mágico de la cuadrícula permanece constante bajo las dos operaciones siguientes: (1) una permutación de las filas; y (2) una permutación de las columnas. (Las operaciones pueden usarse varias veces y en cualquier orden.) Propuesto por Ray Li

2 Demuestre que para todos los reales positivos $a,b,c$ , \[\frac{1}{a+\frac{1}{b}+1}+\frac{1}{b+\frac{1}{c}+1}+\frac{1}{c+\frac{1}{a}+1}\ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+1}. \] Propuesto por David Stoner

3 Para cada entero $C>1$ decida si existen enteros positivos distintos dos a dos $a_1,a_2,a_3,...$ tales que para todo $k\ge 1$ , $a_{k+1}^k$ divide a $C^ka_1a_2...a_k$ . Propuesto por Daniel Liu

8 Hay 20 personas en una fiesta. Cada persona tiene cierto número de monedas. Cada minuto, cada persona que tiene al menos 19 monedas da simultáneamente una moneda a cada una de las demás personas de la fiesta. (Así, es posible que $A$ dé una moneda a $B$ y que $B$ dé una moneda a $A$ al mismo tiempo.) Suponga que este proceso continúa indefinidamente. Es decir, para todo entero positivo $n$ , existe una persona que regalará monedas durante el minuto $n$ -ésimo. ¿Cuál es el menor número de monedas que podría haber en la fiesta? Propuesto por Ray Li

3 Sean $a_1,a_2,...,a_9$ nueve números reales, no necesariamente distintos, con promedio $m$ . Sea $A$ el número de ternas $1 \le i < j < k \le 9$ para las cuales $a_i + a_j + a_k \ge 3m$ . ¿Cuál es el valor mínimo posible de $A$ ? Propuesto por Ray Li

4 Sea $n$ un entero positivo. Los números $\{1, 2, ..., n^2\}$ se colocan en una cuadrícula de $n \times n$ , cada uno exactamente una vez. Se dice que la cuadrícula es Muirhead-able si la suma de las entradas de cada columna es la misma, pero para todo $1 \le i,k \le n-1$ , la suma de las primeras $k$ entradas de la columna $i$ es al menos la suma de las primeras $k$ entradas de la columna $i+1$ . ¿Para qué $n$ se puede construir una cuadrícula Muirhead-able cuyas entradas en cada columna sean decrecientes? Propuesto por Evan Chen

5 Hay una cuadrícula de $2012\times 2012$ con filas numeradas $1,2,\dots 2012$ y columnas numeradas $1,2,\dots, 2012$ , y colocamos sobre ella algunas servilletas rectangulares de modo que los lados de las servilletas estén todos sobre líneas de la cuadrícula. Cada servilleta tiene un grosor entero positivo. (¡en micrómetros!) (a) Demuestre que existen $2012^2$ enteros únicos $a_{i,j}$ con $i,j \in [1,2012]$ tales que para todo $x,y\in [1,2012]$ , la suma \[ \sum _{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} a_{i,j} \] sea igual a la suma de los grosores de todas las servilletas que cubren la casilla de la cuadrícula en la fila $x$ y la columna $y$ . (b) Demuestre que si usamos a lo sumo $500,000$ servilletas, al menos la mitad de los $a_{i,j}$ serán $0$ . Propuesto por Ray Li

6 Una cuadrícula de $4\times4$ tiene sus 16 casillas coloreadas arbitrariamente con tres colores. Un intercambio es un cambio entre los colores de dos casillas. Demuestre o refute que siempre se necesitan a lo sumo tres intercambios para producir un eje de simetría, independientemente de la coloración inicial de la cuadrícula. Propuesto por Matthew Babbitt

7 Una cuadrícula de $2^{2014} + 1$ por $2^{2014} + 1$ tiene algunas casillas negras rellenas. Las casillas negras rellenas forman una o más serpientes en el plano, cada una de cuyas cabezas se bifurca en algunos puntos pero nunca vuelve a unirse. En otras palabras, para todo entero positivo $n$ mayor que $2$ , no existen casillas negras distintas dos a dos $s_1$ , $s_2$ , \dots, $s_n$ tales que $s_i$ y $s_{i+1}$ compartan una arista para $i=1,2, \dots, n$ (aquí $s_{n+1}=s_1$ ) . ¿Cuál es el número máximo posible de casillas negras rellenas? Propuesto por David Yang