11 Sean $M, N$ los puntos medios de los lados $AB, AC$ respectivamente de un triángulo $ABC$ . La perpendicular a la bisectriz $AL$ por su punto medio se encuentra con las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestre que el punto común de las rectas $PM$ y $QN$ está en la tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $A$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo con incentro y $A$ -excentro $I, I_a$ , cuya circunferencia inscrita toca $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . La recta $EF$ se encuentra con $BC$ en $P$ y $X$ es el punto medio de $PD$ . Demuestre que $XI \perp DI_a$ .

21 Una cuerda $PQ$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ se encuentra con los lados $BC, AC$ en los puntos $A', B'$ respectivamente. Las tangentes a la circunferencia circunscrita en $A$ y $B$ se encuentran en un punto $X$ , y las tangentes en los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en el punto $Y$ . La recta $XY$ se encuentra con $AB$ en un punto $C'$ . Demuestre que las rectas $AA', BB'$ y $CC'$ concurren.

22 Se da un segmento $AB$ . Sea $C$ un punto arbitrario de la mediatriz de $AB$ ; sea $O$ el punto de la circunferencia circunscrita de $ABC$ opuesto a $C$ ; y sea una elipse con centro en $O$ tangente a $AB, BC, CA$ . Halle el lugar geométrico de los puntos de tangencia de la elipse con la recta $BC$ .

$ABC$$\angle C=45$$AD$$X$$AD$$\angle XBC=90-\angle B$$X$$AD$$CX$$ABC$$M$$N$$ABC$$M$$AN$$P$$P$$B$$O$

23 Un punto $P$ se mueve a lo largo de una circunferencia $\Omega$ . Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos de $\Omega$ , y sea $C$ un punto arbitrario en el interior de $\Omega$ . Las tangentes exteriores comunes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $APC$ y $BCP$ se cortan en el punto $Q$ . Demuestre que todos los puntos $Q$ se encuentran sobre dos rectas fijas.

18 Sean $AA_1, BB_1, CC_1$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ ; $I_a$ su excentro correspondiente a $A$ ; $I_a'$ la reflexión de $I_a$ respecto a la recta $AA_1$ . Los puntos $I_b', I_c'$ se definen de manera similar. Demuestre que las rectas $A_1I_a', B_1I_b', C_1I_c'$ concurren.

13 ¿Puede un polígono arbitrario cortarse en trapecios isósceles?

16 Sean $AA_1, BB_1, $ y $CC_1$ las bisectrices de un triángulo $ABC$ . Los segmentos $BB_1$ y $A_1C_1$ se encuentran en el punto $D$ . Sea $E$ la proyección de $D$ sobre $AC$ . Los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $BC$ respectivamente son tales que $EP = PD, EQ = QD$ . Demuestre que $\angle PDB_1 = \angle EDQ$ .

17 Sea $ABC$ un triángulo no isósceles, $\omega$ su circunferencia inscrita. Sean $D, E, $ y $F$ los puntos en los que la circunferencia inscrita de $ABC$ toca los lados $BC, CA, $ y $AB$ respectivamente. Sea $M$ el punto en el rayo $EF$ tal que $EM = AB$ . Sea $N$ el punto en el rayo $FE$ tal que $FN = AC$ . Sean las circunferencias circunscritas de $\triangle BFM$ y $\triangle CEN$ que intersecan a $\omega$ nuevamente en $S$ y $T$ respectivamente. Demuestre que $BS, CT, $ y $AD$ concurren.