1 Se dan dos fracciones reducidas (irreducibles). Para la primera fracción, la suma del numerador y el denominador es $1232$ , y para la segunda fracción, la suma es $7987$ . ¿Puede la suma de estas dos fracciones ser igual a $\frac{17}{35}$ ?

2 Dado un triángulo $ABC$ en el que $BC = 2AB$ . El punto $D$ es el punto medio del lado $BC$ , y el punto $K$ es el punto medio del segmento $BD$ . Demuestre que $AC = 2AK$ .

3 Suponga que el número $\overline{aa \ldots a}$ es divisible por $\overline{bb \ldots b}$ . ¿Es necesariamente cierto que el número de cifras del primer número es divisible por el número de cifras del segundo?

4 Considere una cuadrícula de $5\times5$ en la que cada casilla contiene inicialmente $0$ . En una operación, está permitido aumentar en $1$ todos los números de las casillas que forman una esquina. Demuestre que después de cualquier número de tales operaciones, es imposible que todos los números de la cuadrícula se vuelvan iguales. Una esquina se define como la figura que se obtiene al quitar una casilla de un cuadrado de $2\times2$ .

1 En un triángulo acutángulo $ABC$ trace una altura $AD$ . Se sabe que $2CD = BD$ . Sea $K \ne A$ un punto sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tal que $AK \parallel BC$ . Sea $S$ el punto medio de $AB$ . Demuestre que la recta $SK$ es perpendicular a la recta $BC$ .

2 Arlan y Arman juegan un juego. Tienen una cuerda de longitud $2022$ . En cada movimiento, un jugador elige un trozo de cuerda y lo corta en dos partes no nulas. Un jugador gana si después de su movimiento puede seleccionar cuatro trozos de cuerda cuyas longitudes formen una progresión aritmética. Si Arlan mueve primero, ¿quién gana bajo juego óptimo?

3 Sea $A=2+2\sqrt{44x^{2}+1}$ . Demuestre que si $A$ es un entero, entonces $A$ es el cuadrado de un entero.

4 ¿Existe una terna de enteros positivos distintos $a,b,c$ tal que $a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}$ sea divisible por $a^n+b^n+c^n$ para infinitos enteros positivos $n$ ?

1 Aslan escribió en la pizarra el número de enteros del $1$ al $2022$ (inclusive) que son divisibles por $2$ o por $7$ . Almaz escribió en la pizarra el número de enteros del $1$ al $2022$ (inclusive) que son divisibles por $3$ o por $5$ . ¿De quién es el número mayor?

3 Hay $2022$ bolas en una bolsa. Arlan y Arman se turnan para retirar bolas de la bolsa, moviendo Arlan primero. En cada movimiento, un jugador puede tomar cualquier número de bolas de $1$ a $42$ inclusive. El jugador que toma la última bola pierde. ¿Puede Arman garantizar una victoria?