5 $k,n$ son dos enteros positivos arbitrarios. Demuestre que existen al menos $(k-1)(n-k+1)$ enteros positivos que pueden producirse usando $n$ números $k$ y solo las operaciones $+,-,\times, \div$ y añadiendo paréntesis entre ellos, pero que no pueden producirse usando $n-1$ números $k$ . Propuesto por Aryan Tajmir

2 Encuentre el mayor número $n$ para el cual existen $n$ enteros positivos tales que ninguno de ellos divide a otro, pero entre cada tres de ellos, uno divide la suma de los otros dos. Propuesto por Morteza Saghafian

5 Sea $\left \{ c_i \right \}_{i=0}^{\infty}$ una sucesión de números reales no negativos con $c_{2017}>0$ . Se define una sucesión de polinomios como $$P_{-1}(x)=0 \ , \ P_0(x)=1 \ , \ P_{n+1}(x)=xP_n(x)+c_nP_{n-1}(x).$$ Demuestre que no existe ningún entero $n>2017$ ni un número real $c$ tales que $$P_{2n}(x)=P_n(x^2+c).$$ Propuesto por Navid Safaei

6 En el triángulo $ABC$ sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro. El punto $P$ es la reflexión de $A$ con respecto a $OH$ . Suponga que $P$ no está del mismo lado de $BC$ que $A$ . Los puntos $E,F$ están sobre $AB,AC$ respectivamente tales que $BE=PC \ , CF=PB$ . Sea $K$ el punto de intersección de $AP,OH$ . Demuestre que $\angle EKF = 90 ^{\circ}$ Propuesto por Iman Maghsoudi

1 Sean $m$ y $n$ enteros positivos tales que $m>n$ . Defina $x_k=\frac{m+k}{n+k}$ para $k=1,2,\ldots,n+1$ . Demuestre que si todos los números $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$ son enteros, entonces $x_1x_2\ldots x_{n+1}-1$ es divisible por un primo impar.

2 Para un conjunto finito $A$ de enteros positivos, una partición de $A$ en dos subconjuntos no vacíos y disjuntos $A_1$ y $A_2$ es $\textit{good}$ si el mínimo común múltiplo de los elementos de $A_1$ es igual al máximo común divisor de los elementos de $A_2$ . Determine el valor mínimo de $n$ tal que existe un conjunto de $n$ enteros positivos con exactamente $2015$ particiones buenas.

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ puntos sobre los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ , respectivamente. Suponga que los segmentos $PR$ y $QS$ se cortan en $O$ . Suponga que cada uno de los cuadriláteros $APOS$ , $BQOP$ , $CROQ$ y $DSOR$ tiene una circunferencia inscrita. Demuestre que las rectas $AC$ , $PQ$ y $RS$ son concurrentes o paralelas entre sí.

4 Sea $n$ un entero positivo fijo. Encuentre el máximo valor posible de \[ \sum_{1 \le r < s \le 2n} (s-r-n)x_rx_s, \] donde $-1 \le x_i \le 1$ para todo $i = 1, \cdots , 2n$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{C} = 90^{\circ}$ , y sea $H$ el pie de la altura desde $C$ . Se elige un punto $D$ dentro del triángulo $CBH$ de modo que $CH$ biseca a $AD$ . Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $BD$ y $CH$ . Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $BD$ que corta al segmento $CB$ en un punto interior. Una recta que pasa por $P$ es tangente a $\omega$ en $Q$ . Demuestre que las rectas $CQ$ y $AD$ se cortan sobre $\omega$ .

1 A cada celda de una tabla de $n \times n$ se le ha asignado una función real. Demuestre que se puede asignar una función a cada fila y a cada columna de esta tabla tal que la función asignada a cada celda sea equivalente a la combinación de las funciones asignadas a la fila y a la columna que la contienen.