12.4 Llame a un entero positivo $m$ $\textit{good}$ si existen enteros $a, b, c$ que satisfacen $m=a^3+2b^3+4c^3-6abc$ . Demuestre que existe un entero positivo $n<2024$ tal que, para infinitos primos $p$ , el número $np$ es $\textit{good}$ .

1 En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se cortan en $E$ . Las circunferencias circunscritas de $ADE$ y $BCE$ cortan a $\overline{AB}$ nuevamente en $P \neq A$ y $Q \neq B$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $ACP$ corta a $\overline{AD}$ nuevamente en $R \neq A$ , y la circunferencia circunscrita de $BDQ$ corta a $\overline{BC}$ nuevamente en $S \neq B$ . Demuestre que $A$ , $B$ , $R$ y $S$ son concíclicos. Tiger Zhang

2 Para enteros positivos $a$ y $b$ , una mezcla $(a,b)$ de una baraja de $a+b$ cartas es cualquier mezcla que preserve el orden relativo de las $a$ cartas superiores y el orden relativo de las $b$ cartas inferiores. Sean $n$ , $k$ , $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_k$ , $b_1$ , $b_2$ , $\dots$ , $b_k$ enteros positivos fijos tales que $a_i+b_i=n$ para todo $1\leq i\leq k$ . Big Bird tiene una baraja de $n$ cartas y realizará una mezcla $(a_i,b_i)$ para cada $1\leq i\leq k$ , en orden ascendente de $i$ . Suponga que Big Bird puede invertir el orden de la baraja. Demuestre que Big Bird también puede lograr cualquiera de las $n!$ permutaciones de las cartas. Linus Tang

3 Para algún entero positivo $n,$ Elmo escribe la ecuación \[x_1+x_2+\dots+x_n=x_1+x_2+\dots+x_n.\] Elmo inserta al menos una $f$ en el lado izquierdo de la ecuación y agrega paréntesis para crear una ecuación funcional válida. Por ejemplo, si $n=3,$ Elmo podría haber creado la ecuación \[f(x_1+f(f(x_2)+x_3))=x_1+x_2+x_3.\] Cookie Monster encuentra una función $f: \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ que es una solución de la ecuación funcional de Elmo. (En otras palabras, la ecuación de Elmo se satisface para todas las elecciones de $x_1,\dots,x_n\in\mathbb{Q})$ . ¿Es posible que no exista ningún entero $k$ (que posiblemente dependa de $f$ ) tal que $f^k(x)=x$ para todo $x$ ? Srinivas Arun

4 Sea $n$ un entero positivo. Halle el número de sucesiones $a_0,a_1,a_2,\dots,a_{2n}$ de enteros en el intervalo $[0,n]$ tales que para todos los enteros $0\leq k\leq n$ y todos los enteros no negativos $m$ , exista un entero $k\leq i\leq 2k$ tal que $\lfloor k/2^m\rfloor=a_i.$ Andrew Carratu

5 En el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ y $AB+AC=2BC$ , sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$ . Elija el punto $P$ en la prolongación de $\overline{BA}$ más allá de $A$ y el punto $Q$ en el segmento $\overline{AC}$ tales que $M$ esté en $\overline{PQ}$ . Sea $X$ en el lado opuesto de $\overline{AB}$ respecto de $C$ tal que $\overline{AX} \parallel \overline{BC}$ y $AX=AP=AQ$ . Sea $\overline{BX}$ cortando a la circunferencia circunscrita de $BMQ$ nuevamente en $Y \neq B$ , y sea $\overline{CX}$ cortando a la circunferencia circunscrita de $CMP$ nuevamente en $Z \neq C$ . Demuestre que $A$ , $Y$ y $Z$ son colineales. Tiger Zhang

6 Para un primo $p$ , sea $\mathbb{F}_p$ el conjunto de los enteros módulo $p$ , y sea $\mathbb{F}_p[x]$ el conjunto de los polinomios con coeficientes en $\mathbb{F}_p$ . Halle todos los $p$ para los cuales existe un polinomio cuártico $P(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ tal que para todo entero $k$ exista algún entero $\ell$ tal que $P(\ell) \equiv k \pmod p$ . (Nótese que hay $p^4(p-1)$ polinomios cuárticos en $\mathbb{F}_p[x]$ en total.) Aprameya Tripathy

El cuadrado $ABCD$ es cortado por un segmento $EF$ en dos rectángulos $AEFD$ y $BCFE$ . Las longitudes de los lados de cada uno de estos rectángulos son enteros positivos. Se sabe que el área del rectángulo $AEFD$ es $30$ y que es mayor que el área del rectángulo $BCFE$ . Halle el área del cuadrado $ABCD$ . Propuesto por Bogdan Rublov

7 Sea $n$ un entero positivo. Suponga que $A$ y $B$ son matrices invertibles de $n \times n$ con entradas complejas tales que $A+B=I$ (donde $I$ es la matriz identidad) y \[(A^2+B^2)(A^4+B^4)=A^5+B^5.\] Halle todos los valores posibles de $\det(AB)$ para el $n$ dado.

3 ¿Para qué enteros positivos $n$ existe una matriz de $n \times n$ , $A$ , cuyas entradas están todas en $\{0,1\}$ , tal que $A^2$ es la matriz de todos unos?