A4 Supón que $|f(x)|\leq 1$ y $|f''(x)|\leq 1$ para todo $x$ en un intervalo de longitud al menos $2.$ Demuestra que $|f'(x)|\leq 2$ en el intervalo.

Evalúa $$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}k^{2}.$$

A6 Sea $S$ un conjunto de números racionales tal que siempre que $a$ y $b$ sean miembros de $S$, también lo son $ab$ y $a+b$, y que tiene la propiedad de que para todo número racional $r$ exactamente una de las siguientes tres afirmaciones es verdadera: $$r\in S,\;\; -r\in S,\;\;r =0.$$ Demuestra que $S$ es el conjunto de todos los números racionales positivos.

B1 Sea $x^{(n)}=x(x-1)\cdots (x-n+1)$ para $n$ un entero positivo y sea $x^{(0)}=1.$ Demuestra que $$(x+y)^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{(k)} y^{(n-k)}.$$

B2 Sea $S$ el conjunto de todos los subconjuntos de los enteros positivos. Construye una función $f \colon \mathbb{R} \rightarrow S$ tal que $f(a)$ sea un subconjunto propio de $f(b)$ siempre que $a < b.$

B3 Sea $S$ una región convexa en el plano euclidiano que contiene al origen. Supón que todo rayo desde el origen tiene al menos un punto fuera de $S$. Demuestra que $S$ es acotada.

A5 Sea $\Omega$ un conjunto de $n$ puntos, donde $n>2$. Sea $\Sigma$ una subcolección no vacía de los $2^n$ subconjuntos de $\Omega$ que es cerrada bajo uniones, intersecciones y complementos. Si $k$ es el número de elementos de $\Sigma$, ¿cuáles son los posibles valores de $k$?

A6 Demuestra que $p(x)=1+x+x^2 +\ldots+x^n$ es reducible sobre $\mathbb{F}_{2}$ en el caso de que $n+1$ sea compuesto. Si $n+1$ es primo, ¿es $p(x)$ irreducible sobre $\mathbb{F}_{2}$?

B5 Demuestra que para todo entero $n$ mayor que $1:$ $$\frac{3n+1}{2n+2} < \left( \frac{1}{n} \right)^{n} + \left( \frac{2}{n} \right)^{n}+ \ldots+\left( \frac{n}{n} \right)^{n} <2.$$

B6 Sea $$f(x) =\sum_{k=0}^{n} a_{k} \sin kx +b_{k} \cos kx,$$ donde $a_k$ y $b_k$ son constantes. Demuestra que si $|f(x)| \leq 1$ para $x \in [0, 2 \pi]$ y existen $0\leq x_1 < x_2 <\ldots < x_{2n} < 2 \pi$ con $|f(x_i )|=1,$ entonces $f(x)= \cos(nx +a)$ para alguna constante $a.$