3 Sea $n > 1$ un entero dado. Demuestre que infinitos términos de la sucesión $(a_k )_{k\ge 1}$ , definida por \[a_k=\left\lfloor\frac{n^k}{k}\right\rfloor,\] son impares. (Para un número real $x$ , $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x$ . ) Propuesto por Hong Kong

1 En un triángulo $ABC$ , un punto $D$ está sobre el segmento $BC$ . Sean $X$ y $Y$ los incentros de los triángulos $ACD$ y $ABD$ respectivamente. Las rectas $BY$ y $CX$ intersecan a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ en $P\ne Y$ y $Q\ne X$ , respectivamente. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $PX$ y $QY$ . Suponga que $K$ es también la reflexión de $I$ respecto a $BC$ , donde $I$ es el incentro del triángulo $ABC$ . Demuestre que $\angle BAC=\angle ADC=90^{\circ}$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo en el cual $CA>BC>AB$ . Sea $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro. Sean $D$ y $E$ respectivamente los puntos medios del arco $AB$ que no contiene a $C$ y del arco $AC$ que no contiene a $B$ . Sean $D'$ y $E'$ respectivamente las reflexiones de $D$ respecto a $AB$ y de $E$ respecto a $AC$ . Demuestre que $O, H, D', E'$ se encuentran sobre una circunferencia si y solo si $A, D', E'$ son colineales.

1 Halle todos los enteros positivos $a,b$ tales que $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ y $\frac{b^2+a}{a^2-b}$ son también enteros.

2 Halle todas las ternas $(p, x, y)$ formadas por un número primo $p$ y dos enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x^{p -1} + y$ y $x + y^ {p -1}$ son ambas potencias de $p$ . Propuesto por Bélgica

1 Considérese una circunferencia fija $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ sobre ella. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$ . Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ sobre $\Gamma$ , sea $M$ el punto del segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$ . Sea $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMP$ y $BMC$ . Demuestre que al variar $P$ , el punto $Q$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Propuesto por Jack Edward Smith, Reino Unido

3 Sea $r$ un entero positivo, y sea $a_0 , a_1 , \cdots $ una sucesión infinita de números reales. Suponga que para todos los enteros no negativos $m$ y $s$ existe un entero positivo $n \in [m+1, m+r]$ tal que \[ a_m + a_{m+1} +\cdots +a_{m+s} = a_n + a_{n+1} +\cdots +a_{n+s} \] Demuestre que la sucesión es periódica, es decir, existe algún $p \ge 1 $ tal que $a_{n+p} =a_n $ para todo $n \ge 0$ .

2 Para $j=1,2,3$ sean $x_{j},y_{j}$ números reales no nulos, y sea $v_{j}=x_{j}+y_{j}$ . Suponga que se cumplen las siguientes afirmaciones: $x_{1}x_{2}x_{3}=-y_{1}y_{2}y_{3}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^2$ $v_{1},v_{2},v_{3}$ satisfacen la desigualdad triangular $v_{1}^{2},v_{2}^{2},v_{3}^{2}$ también satisfacen la desigualdad triangular. Demuestre que exactamente uno de $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}$ es negativo.

2 Determine si existe una sucesión infinita de dígitos no nulos $a_1 , a_2 , a_3 , \cdots $ y un entero positivo $N$ tales que para todo entero $k > N$ , el número $\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_1 }$ es un cuadrado perfecto.

1 En un triángulo $ABC$ , con $AB\neq AC$ y $A\neq 60^{0},120^{0}$ , $D$ es un punto de la recta $AC$ distinto de $C$ . Suponga que los circuncentros y los ortocentros de los triángulos $ABC$ y $ABD$ se encuentran sobre una circunferencia. Demuestre que $\angle ABD=\angle ACB$ .