2007.3 En los lados $BC$ y $CD$ del cuadrado $ABCD$, Mickey marcó los puntos $K$ y $L$ tales que $\angle AKB = \angle AKL$. Ayúdale a encontrar la medida del ángulo $\angle KAL$.

2 Partiendo de dos puntos \(A\) y \(B\), se construyen algunos círculos y puntos como se muestra en la figura: el círculo con centro \(A\) que pasa por \(B\), el círculo con centro \(B\) que pasa por \(A\), el círculo con centro \(C\) que pasa por \(A\), el círculo con centro \(D\) que pasa por \(B\), el círculo con centro \(E\) que pasa por \(A\), el círculo con centro \(F\) que pasa por \(A\), el círculo con centro \(G\) que pasa por \(A\) (creo que el enunciado no es muy riguroso; debes suponer las intersecciones según el dibujo). Demuestra que \(M\) es el punto medio de \(AB\).

3 Demuestra que $2005^2$ se puede escribir de al menos $4$ maneras como la suma de 2 cuadrados perfectos (no nulos).

4 (a) Sea M un punto interior del cuadrilátero convexo ABCD. Demuestra que $|MA|+|MB| < |AD|+|DC|+|CB|$ . (b) Sea M un punto interior del triángulo ABC. Nota $k=\min(|MA|,|MB|,|MC|)$ . Demuestra que $k+|MA|+|MB|+|MC|<|AB|+|BC|+|CA|$ .

1 Dos rectángulos de $5\times1$ tienen 2 vértices en común como en la figura. (a) Determina el área de la superposición (b) Determina la longitud del segmento entre los otros 2 puntos de intersección, $A$ y $B$ .

¿Cómo puedes pasar del número 11 al 25 multiplicando solo por 2 o restando 3 en un número mínimo de pasos?

Halle todos los enteros de 6 cifras $n$ tales que $n$ es un cuadrado perfecto y el número formado por las últimas 3 cifras de $n$ es 1 más que el número formado por las primeras 3 cifras de $n$ .

5 Halle todos los enteros positivos $k$ tales que existen enteros positivos $a, b$ que satisfacen \[a^2+4=(k^2-4)b^2.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $M$ la intersección de sus diagonales. Por $M$ trace una recta que corte al lado $AB$ en $P$ y al lado $CD$ en $Q$ . Halle todos los cuadriláteros para los cuales existe el segmento $PQ$ que divide a los triángulos $\triangle ABM$ y $\triangle CDM$ en 4 triángulos semejantes.

Jack y Jill juegan el siguiente juego: Jack lanza 3 dados y Jill puede seleccionar algunos de ellos, posiblemente ninguno, y girar cada uno de ellos hacia la cara opuesta. Jill gana si la suma de los valores de los dados es un múltiplo de 4. ¿Puede Jill ganar siempre? (Nota: el juego se juega con dados estándar, donde la suma de los números en caras opuestas es 7.)