A1 Sea $A$ cualquier conjunto de $20$ enteros distintos elegidos de la progresión aritmética $1, 4, 7,\ldots,100$. Demuestra que deben existir dos enteros distintos en $A$ cuya suma sea $104$.

A2 Sean $a,b, p_1 ,p_2, \ldots, p_n$ números reales con $a \ne b$ . Define $f(x)= (p_1 -x) (p_2 -x) \cdots (p_n -x)$ . Demuestra que $$ \text{det} \begin{pmatrix} p_1 & a& a & \cdots & a \\ b & p_2 & a & \cdots & a\\ b & b & p_3 & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b & b& b &\cdots &p_n \end{pmatrix}= \frac{bf(a) -af(b)}{b-a}.$$

A3 Encuentra el valor de $ k\ (0<k<5)$ tal que $ \int_0^{\infty} \frac{x^k}{2+4x+3x^2+5x^3+3x^4+4x^5+2x^6}\ dx$ sea mínimo.

2 Colocamos torres sobre un tablero de ajedrez de $n \cdot n$ que cumple la siguiente condición: Cada dos torres amenazarán al menos una casilla vacía. ¿Cuál es el número máximo de torres?

5 Considera el conjunto de todas las sucesiones estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada sucesión ningún término divide a otro término de la sucesión. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos sucesiones cualesquiera de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$, se tiene $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$. Encuentra los términos de la primera sucesión del conjunto bajo este orden. Amir

B6 Sean $p$ y $n$ enteros positivos. Supón que los números $c_{hk}$ ( $h=1,2,\ldots,n$ ; $k=1,2,\ldots,ph$ ) satisfacen $0 \leq c_{hk} \leq 1.$ Demuestra que $$ \left( \sum \frac{ c_{hk} }{h} \right)^2 \leq 2p \sum c_{hk} ,$$ donde cada suma se toma sobre todos los pares ordenados admisibles $(h,k).$

A1 Considera todas las rectas que cortan la gráfica de $$y=2x^4+7x^3+3x-5$$ en cuatro puntos distintos, digamos $(x_i,y_i), i=1,2,3,4.$ Demuestra que $$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}$$ es independiente de la recta y encuentra su valor.

A6 Sean $n$ puntos distintos en el plano. Demuestra que menos de $2 n^{3 \slash 2}$ pares de ellos están a distancia unitaria.

B4 Demuestra que para todo número real $N$ la ecuación $$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} +x_{3}^{2} +x_{4}^{2} = x_1 x_2 x_3 +x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 +x_2 x_3 x_4$$ tiene una solución entera $(x_1 , x_2 , x_3 , x_4)$ para la cual $x_1, x_2 , x_3 $ y $x_4$ son todos mayores que $N.$

B5 Encuentra el mayor $a$ para el cual existe un polinomio $$P(x) =a x^4 +bx^3 +cx^2 +dx +e$$ con coeficientes reales que satisface $0\leq P(x) \leq 1$ para $-1 \leq x \leq 1.$