2 Sea $T_{n}$ la suma de los primeros $n$ números naturales, es decir, $T_{n}=1+2+\ldots+n$ . Para algunos números naturales $m$ y $n$ , suponga que $2T_{m}=T_{n}$ . Demuestre que el número $T_{2m-n}$ es un cuadrado perfecto.

4 Se marca un punto $T$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ de modo que $AT$ sea la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ . Se marca un punto $S$ sobre el rayo $AT$ tal que $AS = CT.$ Demuestre que $AS = CS$ si y solo si $AT = TB.$

4 Hay $2019$ estudiantes en una universidad, cuatro de los cuales son estudiantes reprobados, aunque no se sabe quiénes son. Alibek se ha matriculado en la universidad y quiere encontrar un compañero de habitación que no sea reprobado. Pidió a cada estudiante que nombrara a tres estudiantes que, en su opinión, reprueban. Cada estudiante reprobado nombró a otros tres estudiantes reprobados, mientras que los estudiantes restantes podían nombrar a cualquiera. Demuestre que, usando esta información, Alibek puede identificar al menos a un estudiante que no sea reprobado y elegir a esa persona como compañero de habitación.

3 Todos los números naturales se colorean con dos colores: blanco y negro . Se sabe que la suma de dos números blancos distintos cualesquiera también es blanca. Además, la suma de dos números negros cualesquiera también es negra. ¿Cuántos coloreados diferentes que satisfacen estas condiciones existen?

3 En un club deportivo, cada miembro practica natación o tenis. Se sabe que el promedio de edad de quienes practican natación es $15$ , y el promedio de edad de quienes practican tenis es $25$ . Un día, uno de los tenistas decidió cambiar y empezar a practicar natación. Tras este cambio, el promedio de edad de cada grupo aumentó en $1$ . Todas las edades son números naturales. ¿Cuántas personas había en el club? Halle todas las respuestas posibles y demuestre que no hay otras.

2 Resuelva la ecuación $5x^{2}+6y^{2}=6y-9$ .

5 Mahmut tiene $1000$ cubos unitarios blancos. Quiere ensamblarlos todos en algún paralelepípedo rectangular que sea completamente blanco por fuera. Su hermano menor Mustafa pintó accidentalmente de negro algunas caras de los cubos. ¿Cuál es el número mínimo de caras que Mustafa debe haber pintado de negro, dado que Mahmut ya no puede ensamblar el paralelepípedo deseado?

5 $\emph{reverse}-n$ en una permutación de $\{1,2\dots , mn\}$ se define como dividir el conjunto en $m$ bloques consecutivos de longitud $n$ e invertir el orden de los bloques manteniendo el orden de los elementos dentro del mismo bloque sin cambios. Por ejemplo, $\emph{reverse}-2$ en $1,2,3,4,5,6$ da $5,6,3,4,1,2.$ Para cualquier primo $p$, sea $f(p)$ el número de permutaciones que se pueden obtener comenzando con $1,2,...,p^{10}$ y luego aplicando operaciones de la forma $\emph{reverse}-p^i$ donde $0\leqslant i\leqslant 9$, finitas veces en cualquier orden. Calcula $f(23)$

1–10 1. Los valores de $k$ para los cuales la recta $y = kx$ interseca a la parábola $y = (x - 1)^2$ son $\textbf{A)}\; k \le 0 \quad \textbf{B)}\; k \ge -4 \quad \textbf{C)}\; k \ge 0 \text{ or } k \le -4 \quad \textbf{D)}\; -4 \le k \le 0.$ 2. Sea $M_2(\mathbb{Z}_2)$ el conjunto de todas las matrices $2 \times 2$ con entradas en $\mathbb{Z}_2$ , donde $\mathbb{Z}_2$ denota el conjunto de los enteros módulo 2. La función $f : M_2(\mathbb{Z}_2) \to M_2(\mathbb{Z}_2)$ definida por $f(x) = x^2$ es $\textbf{A)}$ inyectiva pero no sobreyectiva $\quad \textbf{B)}$ biyectiva $\textbf{C)}$ sobreyectiva pero no inyectiva $\quad \textbf{D)}$ ni inyectiva ni sobreyectiva. 3. Considere la sucesión $4, 0, 4.1, 0, 4.11, 0, 4.111, 0, \dots$ . Esta sucesión $\textbf{A)}$ converge a $4 \frac{1}{9} \quad \textbf{B)}$ no tiene subsucesión convergente $\textbf{C)}$ es no acotada $\quad \textbf{D)}$ no es convergente y tiene supremo $4 \frac{1}{9}.$ 4. Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - 2)|(x - 2)(x - 3)|$ . La función $f$ es $\textbf{A)}$ derivable en $x = 2$ pero no en $x = 3 \quad \textbf{B)}$ derivable en $x = 3$ pero no en $x = 2$ $\textbf{C)}$ derivable en $x = 2$ y en $x = 3 \quad \textbf{D)}$ ni derivable en $x = 2$ ni en $x = 3.$ 5. La ecuación $z^2 + \bar{z}^2 = 2$ representa la $\textbf{A)}$ parábola $\quad \textbf{B)}$ par de rectas $\quad \textbf{C)}$ hipérbola $\quad \textbf{D)}$ elipse. 6. La ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vértices están en el origen y cuyos focos están sobre el eje X es $\textbf{A)}\; 2xdy - ydx = 0 \quad \textbf{B)}\; xdy + ydx = 0 \quad \textbf{C)}\; 2ydx - xdy = 0 \quad \textbf{D)}\; dy - xdx = 0.$ 7. El número de soluciones de la ecuación $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x$ en $[0, 5\pi]$ es igual a $\textbf{A)}\; 3 \quad \textbf{B)}\; 6 \quad \textbf{C)}\; 8 \quad \textbf{D)}\; 11.$ 8. Considere $\triangle ABC$ . Tome 3 puntos en $AB$ , 4 en $BC$ y 5 en $CA$ tales que ninguno de los puntos sea un vértice de $\triangle ABC$ . El número de triángulos que pueden construirse usando estos puntos es $\textbf{A)}\; 60 \quad \textbf{B)}\; 205 \quad \textbf{C)}\; 145 \quad \textbf{D)}\; 120.$ 9. El número de primos $p$ tales que $p, p + 10, p + 14$ son todos números primos es $\textbf{A)}\; 0 \quad \textbf{B)}\; 1 \quad \textbf{C)}\; 3 \quad \textbf{D)}$ infinitos. 10. Una relación $R$ está definida en el conjunto de los enteros positivos como $xRy$ si $2x + y \le 5$ . La relación $R$ es $\textbf{A)}$ reflexiva $\quad \textbf{B)}$ simétrica $\quad \textbf{C)}$ transitiva $\quad \textbf{D)}$ Ninguna de estas.

2 Una transposición de un vector $X$ de longitud $n$ se crea intercambiando exactamente dos entradas distintas de un vector $X$ . Por ejemplo, $(1,3,2,4)$ es una transposición del vector $(1,2,3,4)$ de longitud $4$ . Halle un vector $X$ si se sabe que todos los vectores siguientes son transposiciones de $X$ : $S=(0,1,1,1,0,0,0,1)$ , $T=(1,0,1,1,1,0,0,0),$ $U=(1,0,1,0,1,0,0,1)$ , $V=1,1,1,1,0,0,0,0)$ , $W=(1,0,0,1,0,0,1,1)$ .