7 Sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos medios de los arcos $BC$ , $CA$ , $AB$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contienen a los puntos $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente. Sea la recta $DE$ que corta a $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$ , y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$ . Sea la recta $FD$ que corta a $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$ , y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$ . a) Halle los ángulos del triángulo $DMN$ ; b) Demuestre que si $P$ es el punto de intersección de las rectas $AD$ y $EF$ , entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$ . Iris

6 Un entero positivo $N$ es interoceánico si su factorización en primos $$N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$$ satisface $$x_1+x_2+\dots +x_k=p_1+p_2+\cdots +p_k.$$ Halle todos los números interoceánicos menores que 2020.

4 Considere un triángulo $ABC$ con $BC>AC$ . La circunferencia con centro $C$ y radio $AC$ interseca al segmento $BC$ en $D$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $CA$ en $A$ . La recta $AB$ y $\Gamma$ se intersecan en un punto $F$ con $F \neq A$ . Demuestre que $BF=BD$ .

A2 Sea $n$ un entero positivo y sean $f_1(x), f_2(x) \dots f_n(x)$ funciones afines de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ tales que, entre las gráficas de estas funciones, no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes. Sea $S$ el conjunto de todas las funciones convexas $g(x)$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ tales que para cada $x \in \mathbb{R}$ existe $i$ tal que $g(x) = f_i(x)$ . Determine los valores mayor y menor posibles de $|S|$ en términos de $n$ . (Una función $f(x)$ es afín si tiene la forma $f(x) = ax + b$ para algunos $a, b \in \mathbb{R}$ . Una función $g(x)$ es convexa si $g(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leq \lambda g(x) + (1-\lambda)g(y)$ para todos $x, y \in \mathbb{R}$ y $0 \leq \lambda \leq 1$ )

A3 Para cada entero positivo $n$ , sea $f(n)$ el menor valor posible de $$|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n|$$ donde $A_1, A_2, A_3 \dots A_n$ son conjuntos tales que $A_i \not\subseteq A_j$ y $|A_i| \neq |A_j|$ siempre que $i \neq j$ . Determine $f(n)$ para cada entero positivo $n$ .

3 Halle todas las cuádruplas de enteros positivos $(p, q, a, b)$ , donde $p$ y $q$ son números primos y $a > 1$ , tales que $$p^a = 1 + 5q^b.$$

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AH = HD$ , donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $D \in BC$ es el pie de la altura desde el vértice $A$ . Sea $\ell$ la recta que pasa por $H$ y es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ . Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $AC$ , respectivamente. Denótese por $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $SM$ y $TN$ son paralelas.

1 Halle todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$$

A4 Sea $x_0, x_1, x_2 \dots$ una sucesión de números reales positivos tal que para todo $n \geq 0$ , $$x_{n+1} = \dfrac{(n^2+1)x_n^2}{x_n^3+n^2}$$ ¿Para qué valores de $x_0$ está acotada esta sucesión?

B1 Halle el menor número real positivo $r$ con la siguiente propiedad: Para toda elección de $2023$ vectores unitarios $v_1,v_2, \dots ,v_{2023} \in \mathbb{R}^2$ , se puede encontrar un punto $p$ en el plano tal que, para cada subconjunto $S$ de $\{1,2, \dots , 2023\}$ , la suma $$\sum_{i \in S} v_i$$ se encuentre dentro del disco $\{x \in \mathbb{R}^2 : ||x-p|| \leq r\}$ .