3 Cuatro bolas de radio $1$ se colocan en el espacio de modo que cada una de ellas toca a las otras tres. ¿Cuál es el radio de la esfera más pequeña que las contiene a todas?

4 Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ son ortogonales. Sean $M,N,R,S$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD$ y $DA$ respectivamente, y sean $W,X,Y,Z$ las proyecciones de los puntos $M,N,R$ y $S$ sobre las rectas $CD,DA,AB$ y $BC$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $M,N,R,S,W,X,Y$ y $Z$ están sobre una circunferencia.

5 La suma de los cuadrados de dos enteros consecutivos puede ser un cuadrado, como en $3^2+4^2 =5^2$ . Demuestre que la suma de los cuadrados de $m$ enteros consecutivos no puede ser un cuadrado para $m = 3$ o $6$ , y halle un ejemplo de $11$ enteros consecutivos la suma de cuyos cuadrados es un cuadrado.

4 Halle todos los enteros positivos $n,k,a_1,a_2,...,a_k$ tales que $n^{k+1}+1$ es divisible por $(na_1+1)(na_2+1)...(na_k+1)$

6 Dado un $n$ -ágono ( $n\ge 4$ ) , considere un conjunto $T$ de triángulos formados por vértices del polígono que tiene la siguiente propiedad: cada dos triángulos de T tienen dos vértices comunes, o ninguno. Demuestre que $T$ contiene a lo sumo $n$ triángulos.

5 Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias unitarias tangentes dentro de una circunferencia $C$ de radio $2$ . La circunferencia $C_3$ dentro de $C$ es tangente a las circunferencias $C,C_1,C_2$ , y la circunferencia $C_4$ dentro de $C$ es tangente a $C,C_1,C_3$ . Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3$ y $C_4$ son vértices de un rectángulo.

2 Halle dos enteros positivos $a,b$ tales que $a | b^2, b^2 | a^3, a^3 | b^4, b^4 | a^5$ , pero $a^5$ no divide a $b^6$

1 En un triángulo $ABC$ el área es $18$ , la longitud $AB$ es $5$ , y las medianas desde $A$ y $B$ son ortogonales. Halle las longitudes de los lados $BC,AC$ .

4 Halle el menor número natural posible $n = \overline{a_m ...a_2a_1a_0} $ (en el sistema decimal) tal que el número $r = \overline{a_1a_0a_m ..._20} $ sea igual a $2n$ .

4 Calcule $0/1 + 1/1 + 0/2 + 1/2 + 2/2 + 0/3 + 1/3 + 2/3 + 3/3 + 0/4 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 4/4 + 0/5 + 1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5 + 5/5 + 0/6 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6$