1 Los círculos de la figura tienen sus centros en $C$ y $D$ y se intersecan en $A$ y $B$. Sea $\angle ACB =60$ , $\angle ADB =90^o$ y $DA = 1$. Halle la longitud de $CA$.

4 La función $ F$ está definida sobre el conjunto de los enteros no negativos y toma valores enteros no negativos que satisfacen las siguientes condiciones: para todo $ n \geq 0,$ (i) $ F(4n) = F(2n) + F(n),$ (ii) $ F(4n + 2) = F(4n) + 1,$ (iii) $ F(2n + 1) = F(2n) + 1.$ Demuestra que para cada entero positivo $ m,$ el número de enteros $ n$ con $ 0 \leq n < 2^m$ y $ F(4n) = F(3n)$ es $ F(2^{m + 1}).$

2 Sean $ a, b, c$ enteros positivos que satisfacen las condiciones $ b > 2a$ y $ c > 2b.$ Muestre que existe un número real $ \lambda$ con la propiedad de que los tres números $ \lambda a, \lambda b, \lambda c$ tienen sus partes fraccionarias en el intervalo $ \left(\frac {1}{3}, \frac {2}{3} \right].$

N7 Sea $\nu$ un número positivo irracional, y sea $m$ un entero positivo. Un par $(a,b)$ de enteros positivos se llama bueno si \[a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m.\] Un par bueno $(a,b)$ se llama excelente si ninguno de los pares $(a-b,b)$ y $(a,b-a)$ es bueno. Demuestre que el número de pares excelentes es igual a la suma de los divisores positivos de $m$ .

3 Halle todos los pares de funciones $ f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $g : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[f \left( x + g(y) \right) = xf(y) - y f(x) + g(x) \quad\text{for all } x, y\in\mathbb{R}.\]

7 Para un polinomio $ P$ de grado 2000 con coeficientes reales distintos, sea $ M(P)$ el conjunto de todos los polinomios que se pueden obtener de $ P$ mediante una permutación de sus coeficientes. Un polinomio $ P$ se llamará $ n$ - independiente si $ P(n) = 0$ y podemos obtener de cualquier $ Q \in M(P)$ un polinomio $ Q_1$ tal que $ Q_1(n) = 0$ intercambiando a lo sumo un par de coeficientes de $ Q.$ Encuentra todos los enteros $ n$ para los cuales existen polinomios $ n$ - independientes.

1 Sean $ a, b, c$ números reales positivos tales que $ abc = 1$ . Demuestre que \[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \] Valentin

3 Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Demuestra que existen puntos $D$, $E$ y $F$ en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente tales que \[ OD + DH = OE + EH = OF + FH\] y las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ son concurrentes.

5 Las tangentes en $B$ y $A$ al circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ cortan a la tangente en $C$ en $T$ y $U$ respectivamente. $AT$ corta a $BC$ en $P$, y $Q$ es el punto medio de $AP$; $BU$ corta a $CA$ en $R$, y $S$ es el punto medio de $BR$. Demuestra que $\angle ABQ=\angle BAS$. Determina, en términos de razones de longitudes de lados, los triángulos para los cuales este ángulo es máximo.

4 Sea \( A_1A_2 \ldots A_n\) un polígono convexo, \( n \geq 4.\) Demuestra que \( A_1A_2 \ldots A_n\) es cíclico si y solo si a cada vértice \( A_j\) se le puede asignar un par \( (b_j, c_j)\) de números reales, \( j = 1, 2, \ldots, n,\) tal que \( A_iA_j = b_jc_i - b_ic_j\) para todos los \( i, j\) con \( 1 \leq i < j \leq n.\)