4 Al principio, el número 1 está escrito en el pizarrón 9999 veces. Se nos permite realizar las siguientes acciones: Borrar cuatro números de la forma $x,x,y,y$, y en su lugar escribir los dos números $x+y,x-y$. (El orden o la ubicación de los números borrados no importa) Borrar el número 0 del pizarrón, si está ahí. ¿Es posible llegar a un estado donde: Solo quede un número en el pizarrón? Queden a lo más tres números en el pizarrón?

Guy tiene 17 tarjetas. En cada una de ellas hay escrito un número entero (los números no son necesariamente positivos, ni necesariamente distintos entre sí). Guy notó que para cada tarjeta, el cuadrado del número escrito en ella es igual a la suma de los números de las otras 16 tarjetas. ¿Cuáles son los números en las tarjetas de Guy? Encuentra todas las opciones.

Un conjunto de enteros se llama legendario si puedes alcanzar cualquier entero a partir de él usando la siguiente acción varias veces: Si los números $x,y$ están en el conjunto, podemos añadir el número $xy-y^2-y+x$ al conjunto. Demuestra que cualquier conjunto legendario contiene al menos 8 números.

3 Seis triángulos isósceles congruentes se han unido como se describe en la imagen de abajo. Demuestra que los puntos M, F, C están sobre una misma línea. https://i.imgur.com/1LU5Zmb.png

7 En el plano, los puntos $A,B,C$ están marcados en azul y los puntos $P,Q$ están marcados en rojo (ningún 3 puntos marcados son colineales, y ningún 4 puntos marcados son concíclicos). Un círculo se llama separador si todos los puntos de un color están dentro de él, y todos los puntos del otro color están fuera de él. Denota por $O$ el circuncentro de $ABC$ y por $R$ el circunradio de $ABC$. Demuestra que exactamente una de las siguientes afirmaciones se cumple: Existe un círculo separador; Existe un punto $X$ en el segmento $PQ$ que también está dentro del triángulo $ABC$, para el cual $PX\cdot XQ = R^2-OX^2$.

5 La sucesión de enteros $(s_i)$ "con patrón 2016'" se define de la siguiente manera: $\circ$ El primer miembro $s_1$ es 2. $\circ$ El segundo miembro $s_2$ es el menor entero positivo mayor que $s_1$ que tiene el dígito 0 en su notación decimal. $\circ$ El tercer miembro $s_3$ es el menor entero positivo mayor que $s_2$ que tiene el dígito 1 en su notación decimal. $\circ$ El tercer miembro $s_3$ es el menor entero positivo mayor que $s_2$ que tiene el dígito 6 en su notación decimal. Los siguientes miembros se definen de la misma manera. Los dígitos requeridos cambian periódicamente: $2 \rightarrow 0 \rightarrow 1 \rightarrow 6 \rightarrow 2 \rightarrow 0 \rightarrow \ldots$ . Los primeros miembros de esta sucesión son los siguientes: $2; 10; 11; 16; 20; 30; 31; 36; 42; 50$ . ¿Cuáles son los 4 números que siguen inmediatamente a $s_k = 2016$ en esta sucesión?

1 Dado que $x$ y $y$ son enteros positivos tales que $xy^{10}$ es una potencia 33-ésima perfecta de un entero positivo, demuestra que $x^{10}y$ también es una potencia 33-ésima perfecta.

4 En un triángulo pitagórico todos los lados son mayores que 5. ¿Es posible que (a) los tres lados sean números primos, (b) exactamente dos lados sean números primos. (Nota: Llamamos a un triángulo "pitagórico" si es un triángulo rectángulo donde todos los lados son enteros positivos.)

5 Todos los vértices de un 2016-ágono regular están inicialmente blancos. ¿Cuál es el número mínimo de ellos que se pueden pintar de negro para que: (a) No haya triángulo rectángulo (b) No haya triángulo acutángulo cuyos vértices estén entre los vértices del 2016-ágono que sigan siendo blancos?

1 Dado que $x$ y $y$ son enteros positivos tales que $xy^{433}$ es una potencia 2016-ésima perfecta de un entero positivo, demuestra que $x^{433}y$ también es una potencia 2016-ésima perfecta.