Se trazan $3n$ rectas en el plano ($n > 1$), de modo que no hay dos paralelas ni tres concurrentes. Demuestra que, si $2n$ de las rectas se colorean de rojo y las otras $n$ de azul, existen al menos dos regiones del plano tales que todos sus bordes son rojos. Nota: para cada región, todos sus bordes están contenidos en el conjunto original de rectas, y ninguna recta pasa por el interior de la región.

Dado un triángulo acutángulo \(PA_1B_1\) inscrito en la circunferencia \(\Gamma\) de radio \(1\). Para todo entero \(n \ge 1\) se definen: \(C_n\) el pie de la perpendicular desde \(P\) a \(A_nB_n\), \(O_n\) es el centro de \(\odot (PA_nB_n)\), \(A_{n+1}\) es el pie de la perpendicular desde \(C_n\) a \(PA_n\), \(B_{n+1} \equiv PB_n \cap O_nA_{n+1}\). Si \(PC_1 =\sqrt{2}\), halla la longitud de \(PO_{2015}\). Fuente: Cono Sur Olympiad - 2015 - Día 1 - Problema 3

6 Sea $S = \{1, 2, 3, \ldots , 2046, 2047, 2048\}$. Dos subconjuntos $A$ y $B$ de $S$ se dicen amigos si se cumplen las siguientes condiciones: No comparten ningún elemento. Ambos tienen el mismo número de elementos. El producto de todos los elementos de $A$ es igual al producto de todos los elementos de $B$. Demuestra que existen dos subconjuntos de $S$ que son amigos y tales que cada uno de ellos contiene al menos $738$ elementos.

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle{BAD} = 90^{\circ}$ y sus diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sea $M$ el punto medio del lado $CD$, y $E$ la intersección de $BM$ y $AC$. Sea $F$ un punto en el lado $AD$ tal que $BM$ y $EF$ son perpendiculares. Si $CE = AF\sqrt{2}$ y $FD = CE\sqrt{2}$, demuestra que $ABCD$ es un cuadrado.

2 Dado un conjunto finito de números reales $A$ , que no contiene a $0$ ni a $1$ y que tiene la propiedad: si el número $a$ pertenece a $A$ , entonces los números $\frac{1}{a}$ y $1-a$ también pertenecen a $A$ . ¿Cuántos números hay en el conjunto $A$ ?

5 Resuelve la ecuación $\sqrt{1981-\sqrt{1996+x}}=x+15$

4 Dado un segmento de longitud $7\sqrt3$ . ¿Es posible usar solo el compás para construir un segmento de longitud $\sqrt7$ ?

1 Demuestra la desigualdad $x_1y_1+x_2y_2+x_2y_1+2x_2y_2\le 1996$ si $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2\le 998$ y $y_1^2+2y_1y_2+2y_2^2\le 3992$ .

3 Nueve puntos del plano, ubicados en los vértices de un nonágono regular, están conectados por pares mediante segmentos, cada uno de los cuales está coloreado de rojo o azul. Se sabe que en cualquier triángulo con vértices en los vértices del nonágono al menos un lado es rojo. Demuestra que existen cuatro puntos tales que cualesquiera dos de ellos están conectados por líneas rojas.

Dado un tetraedro \(ABCD\), en el cual \(AB=CD=13\), \(AC=BD=14\) y \(AD=BC=15\). Demuestra que los centros de la esfera inscrita y de la esfera circunscrita coinciden, y encuentra los radios de estas esferas.