3 Para un entero positivo $n$ definimos $f (n) = \max X_1^{X_2^{...^{X_k}}}$ donde el máximo se toma sobre todas las descomposiciones posibles de números naturales $n = X_1X_2...X_k$ . Determine $f(n)$ .

4 Un número de $n$ lámparas ( $n\ge 3$ ) están puestas en los $n$ vértices de un $n$ -gono regular. Inicialmente, todas las lámparas están apagadas. En cada paso, Lisa elegirá tres lámparas que estén ubicadas en tres vértices de un triángulo isósceles y cambiará sus estados (de apagado a encendido y viceversa). Su objetivo es encender todas las lámparas. ¿Cuántos pasos como mínimo se requieren para lograrlo?

1 Sea $n$ un entero positivo dado. Demuestre que no existe un divisor positivo $d$ de $2n^2$ tal que $d^2n^2+d^3$ sea un cuadrado de un entero.

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos . Demuestre que $$ \frac{1}{ab(b+1)(c+1)}+\frac{1}{bc(c+1)(a+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(b+1)}\geq\frac{3}{(1+abc)^2}.$$

3 Sean $k$ , $n$ enteros positivos, $k,n>1$ , $k<n$ y se da una cuadrícula $n \times n$ de casillas unitarias. Ana y Maya se turnan para colorear la cuadrícula de la siguiente manera: en cada turno, se colorea de negro una casilla unitaria de modo que no haya dos casillas negras que compartan un lado o un vértice. Encuentre el menor entero positivo $n$ tal que puedan obtener una configuración en la que cada fila y cada columna contenga exactamente $k$ casillas negras. Dibuje un ejemplo.

3 Dado un papel en el que están escritos los números $1,2,3\dots ,14,15$ . Andy y Bobby están aburridos y realizan las siguientes operaciones: Andy elige dos números cualesquiera (digamos $x$ y $y$ ) en el papel, los borra y escribe la suma de los números en el papel inicial. Mientras tanto, Bobby escribe el valor de $xy(x+y)$ en su libro. Estaban tan aburridos que ambos realizaron la operación hasta que solo quedó $1$ número. Entonces Bobby suma todos los números que escribió en su libro; llamemos $k$ a la suma. $a$ . Demuestre que $k$ es constante, lo que significa que no importa cómo realicen la operación, $b$ . Encuentre el valor de $k$ .

4 Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que para todos los enteros positivos $m$ , $1<m<n$ , primos relativos con $n$ , $m$ debe ser un número primo.

2 Las alturas $BB_1$ y $CC_1$ están trazadas en un triángulo acutángulo $ABC$ . Sean $X$ y $Y$ los puntos simétricos a los puntos $B_1$ y $C_1$ , con respecto a los puntos medios de los lados $ AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ respectivamente. Denotemos con $Z$ el punto de intersección de las rectas $BC$ y $XY$ . Demuestre que la recta $ZA$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ .

1 Tenemos un triángulo $ABC$ de área $S$ . En un paso podemos mover únicamente un vértice a la vez, de modo que el área del triángulo permanezca constante durante el movimiento. Demuestre que podemos mover este triángulo hasta cualquier otro triángulo arbitrario $DEF$ de área $S$ . Propuesto por Marek Maruin, Slovakia

2 ¿Para cuántos $x \in \{1,2,3,\dots, 2024\}$ es posible que Bekhzod haya sumado $2024$ enteros no negativos consecutivos, que Ozod haya sumado $2024+x$ enteros no negativos consecutivos y que ambos hayan obtenido el mismo resultado? Propuesto por Marek Maruin, Slovakia