24 $(GBR 1)$ Se dice que el polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$, donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para todo valor entero de $x$. Muestra que si $P(x)$ es divisible por $m$, entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$. También demuestra que si $a, k, m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$, entonces se puede encontrar un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ que sea divisible por $m$.

25 $(GBR 2)$ Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$. Demuestra que el número más grande que no se puede expresar en la forma $ax + by$ es $ab - a - b$. Si $N(k)$ es el número más grande que no se puede expresar en la forma $ax + by$ de exactamente $k$ maneras, encuentra $N(k)$.

28 $(GBR 5)$ Definamos $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Expresa $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b$. Demuestra el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestra que $b$ divide a $a(u_b -1)$.

27 $(GBR 4)$ El segmento $AB$ biseca perpendicularmente a $CD$ en $X$. Demuestra que, sujeto a restricciones, existe un cono circular recto cuyo eje pasa por $X$ y en cuya superficie se encuentran los puntos $A,B,C,D.$ ¿Cuáles son las restricciones?

33 $(GDR 5)$ Dado un anillo $G$ en el plano acotado por dos circunferencias concéntricas con radios $R$ y $\frac{R}{2}$, demuestra que podemos cubrir esta región con $8$ discos de radio $\frac{2R}{5}$. (Una región está cubierta si cada uno de sus puntos está dentro o en el borde de algún disco.)

32 $(GDR 4)$ Encuentra el número máximo de regiones en las que una esfera puede ser particionada por $n$ círculos.

35 $(HUN 2)$ Demuestra que $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{5}{4}$

30 $(GDR 2)^{IMO1}$ Demuestra que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n.$

34 $(HUN 1)$ Sean $a$ y $b$ enteros arbitrarios. Demuestra que si $k$ es un entero no divisible por $3$, entonces $(a + b)^{2k}+ a^{2k} +b^{2k}$ es divisible por $a^2 +ab+ b^2$.

29 $(GDR 1)$ Encuentra todos los números reales $\lambda$ tales que la ecuación $\sin^4 x - \cos^4 x = \lambda(\tan^4 x - \cot^4 x)$ $(a)$ no tiene solución, $(b)$ tiene exactamente una solución, $(c)$ tiene exactamente dos soluciones, $(d)$ tiene más de dos soluciones (en el intervalo $(0, \frac{\pi}{4}).$