2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyos lados y área son iguales a $a, b, c$ y $S$ , respectivamente. Demuestre o refute que una condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto $P$ interior al triángulo $ABC$ tal que las distancias entre $P$ y los vértices de $ABC$ sean iguales a $x, y$ y $z$ , respectivamente, es que exista un triángulo con lados $a, y, z$ y área $S_1$ , un triángulo con lados $b, z, x$ y área $S_2$ y un triángulo con lados $c, x, y$ y área $S_3$ donde $S_1 + S_2 + S_3 = S.$ . Amir

1 Suponga que $p$ es un número primo mayor que $3$ . Demuestre que $7^{p}-6^{p}-1$ es divisible por $43$ .

3 Sean $n, r$ enteros positivos. Halle el menor entero positivo $m$ que satisface la siguiente condición. Para cada partición del conjunto $\{1, 2, \ldots ,m \}$ en $r$ subconjuntos $A_1,A_2, \ldots ,A_r$ , existen dos números $a$ y $b$ en algún $A_i, 1 \leq i \leq r$ , tales que \[ 1 < \frac ab < 1 +\frac 1n.\] Amir

1 Sea $A$ un subconjunto de $\{2,3, \ldots, 28 \}$ tal que si $a \in A$ , entonces el residuo que se obtiene al dividir $a^2$ entre $29$ también pertenece a $A$ . Halle el mínimo valor posible de $|A|$ .

3 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{Z}\setminus\{0\}\to \mathbb{Q}$ tales que para todos $ x,y \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ : \[ f \left( \frac{x+y}{3}\right) =\frac{f(x)+f(y)}{2}, \; \; x, y \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}\]

3 Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos polinomios con coeficientes reales tales que para infinitos valores racionales de $x$ , la fracción $\frac{f(x)}{g(x)}$ es racional. Demuestre que $\frac{f(x)}{g(x)}$ puede escribirse como el cociente de dos polinomios con coeficientes racionales. Amir

1 Demuestre que la ecuación $x+x^2=y+y^2+y^3$ no tiene soluciones en enteros positivos. Amir

1 (a) Considere el conjunto de todos los triángulos $ABC$ inscritos en una circunferencia de radio $R.$ ¿Cuándo es máxima $AB^2+BC^2+CA^2$? Halle este máximo. (b) Considere el conjunto de todos los tetraedros $ABCD$ inscritos en una esfera de radio $R.$ ¿Cuándo es máxima la suma de los cuadrados de las seis aristas de $ABCD$? Halle este máximo y, en este caso, demuestre que todas las aristas son iguales. Amir

3 Sea $X \neq \varnothing$ un conjunto finito y sea $f: X \to X$ una función tal que para todo $x \in X$ y un primo fijo $p$ tenemos $f^p(x)=x.$ Sea $Y=\{x \in X | f(x) \neq x\}.$ Demuestre que el número de elementos del conjunto $Y$ es divisible por $p.$ Nota. ${f^p(x)=x = \underbrace{f(f(f(\cdots ((f}_{ p \text{ times}}(x) ) \cdots )))} .$ Amir

3 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función tal que $f(1)=1$ y \[f(x+y)=f(x)+f(y)\] Y para todo $x \in \mathbb R / \{0\}$ tenemos $f\left( \frac 1x \right) = \frac{1}{f(x)}.$ Halle todas las funciones $f.$ Amir