6 En el triángulo $ABC$ con $AB>BC$ , $BM$ es una mediana y $BL$ es una bisectriz del ángulo. La recta que pasa por $M$ y es paralela a $AB$ interseca a $BL$ en el punto $D$ , y la recta que pasa por $L$ y es paralela a $BC$ interseca a $BM$ en el punto $E$ . Demuestre que $ED$ es perpendicular a $BL$ . behdad.math.math

En un grupo de $10$ personas, entre cualesquiera tres personas hay alguien que es amigo de las otras dos. Demuestre que estas $10$ personas pueden dividirse en dos grupos de $5$ tales que en cada grupo todos son amigos de todos los demás. Propuesto por Mykhailo Shtandenko

8 Dos enteros positivos distintos $a,b$ están escritos en el pizarrón. El menor de ellos se borra y se reemplaza por el número $\frac{ab}{|a-b|}$ . Este proceso se repite mientras los dos números no sean iguales. Demuestre que eventualmente los dos números del pizarrón serán iguales.

1 Dos rectas paralelas al eje $x$ cortan la gráfica de $y=ax^3+bx^2+cx+d$ en los puntos $A,C,E$ y $B,D,F$ respectivamente, en ese orden de izquierda a derecha. Demuestre que la longitud de la proyección del segmento $CD$ sobre el eje $x$ es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones de $AB$ y $EF$ .

2 Dos polígonos están dados en el plano. Suponga que la distancia entre cualesquiera dos vértices del mismo polígono es a lo sumo 1, y que la distancia entre cualesquiera dos vértices de polígonos distintos es al menos $ 1/\sqrt{2}$ . Demuestre que estos dos polígonos no tienen puntos interiores comunes. Por cierto, ¿pueden intersecarse dos lados de un polígono?

5 Inicialmente los números $19$ y $98$ están escritos en un pizarrón. Cada minuto, cada uno de los dos números se eleva al cuadrado o se aumenta en $1$ . ¿Es posible obtener dos números iguales en algún momento?

3 Se da en el plano un conjunto $\mathcal S$ de trasladados de un triángulo equilátero, y cualesquiera dos tienen intersección no vacía. Demuestre que existen tres puntos tales que todo triángulo de $\mathcal S$ contiene uno de estos puntos.

3 En el triángulo escaleno $\triangle ABC$ , la tangente trazada desde el pie de la bisectriz del $\angle A$ a la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ , distinta de la recta $BC$ , toca a la circunferencia inscrita en el punto $K_a$ . Los puntos $K_b$ y $K_c$ se definen análogamente. Demuestre que las rectas que unen $K_a$ , $K_b$ , $K_c$ con los puntos medios de $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente, tienen un punto común sobre la circunferencia inscrita.

6 Una operación binaria $*$ sobre los números reales tiene la propiedad de que $(a * b) * c = a+b+c$ para todo $a$ , $b$ , $c$ . Demuestre que $a * b = a+b$ .

7 Sea n un entero al menos 4. En un n-ágono convexo, NO hay cuatro vértices que se encuentren sobre una misma circunferencia. Un círculo se llama circunscrito si pasa por 3 vértices del n-ágono y contiene a todos los demás vértices. Un círculo circunscrito se llama fronterizo si pasa por 3 vértices consecutivos; un círculo circunscrito se llama interior si pasa por 3 puntos dos a dos no consecutivos. Demuestre que el número de círculos fronterizos es 2 más que el número de círculos interiores.