Se da el entero no negativo \(n\) y un tablero de ajedrez de \((2n + 1) \times (2n + 1)\) con casillas coloreadas alternadamente de negro y blanco. Para todo número natural \(m\) con \(1 < m < 2n+1\), un cuadrado \(m \times m\) del tablero dado que tiene más de la mitad de su área coloreada de negro se llama un cuadrado \(B\). Si el tablero dado es un cuadrado \(B\), halla en términos de \(n\) el número total de cuadrados \(B\) de este tablero.

10 Un triángulo acutángulo con un lado igual a la altura desde el vértice opuesto se corta de papel. Construye un punto dentro de este triángulo tal que el cuadrado de la distancia desde él a uno de los vértices sea igual a la suma de los cuadrados de las distancias a los otros dos vértices. No hay instrumentos disponibles, solo se permite doblar el papel y marcar los puntos comunes de las líneas de doblez. Propuesto por: M. Evdokimov

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico (en el mismo orden) inscrito en la circunferencia $\odot (O)$ . Sea $\overline{AC}$ $\cap$ $\overline{BD}$ $=$ $E$ . Una recta aleatoria $\ell$ por $E$ interseca a $\overline{AB}$ en $P$ y a $BC$ en $Q$ . Una circunferencia $\omega$ es tangente a $\ell$ en $E$ y pasa por $D$ . Dado que $\omega$ $\cap$ $\odot (O)$ $=$ $R$ . Demuestre que los puntos $B,Q,R,P$ son concíclicos.

4 Sea $n>1$ un entero positivo, y sean $z_1, z_2, \cdots, z_n$ números complejos. Demuestre que: $\sum_{k=1}^{n} \left | 1+z_k \right | +\frac{1}{n-1}\sum_{1 \le \ i < j \le n}\left | 1+z_iz_j \right | \ge \sum_{k=1}^{n} \left | z_k \right | $

1 Para subconjuntos no vacíos $A,B \subset \mathbb{Z}$ defina \[A+B=\{a+b:a\in A, b\in B\},\ A-B=\{a-b:a\in A, b\in B\}.\] En lo que sigue trabajamos con subconjuntos finitos no vacíos de $\mathbb{Z}$ . Demuestre que podemos cubrir $B$ con a lo sumo $\frac{|A+B|}{|A|}$ traslaciones de $A-A$ , es decir, existe $X\subset Z$ con $|X|\leq \frac{|A+B|}{|A|}$ tal que \[B\subseteq \cup_{x\in X} (x+(A-A))=X+A-A.\]

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo . Una circunferencia $\omega_1(O_1,R_1)$ pasa por los puntos $B$ y $C$ y corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente . Sea $\omega_2(O_2,R_2)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$ . Demuestre que $O_1O_2$ es igual al circunradio del triángulo $ABC$ .

Un día, en una habitación había varios habitantes de una isla donde solo viven veraces y mentirosos. Tres de ellos hicieron las siguientes afirmaciones: No hay más de tres de nosotros aquí. Todos somos mentirosos. No hay más de cuatro de nosotros aquí. No todos somos mentirosos. Somos cinco aquí. Al menos tres de nosotros somos mentirosos. ¿Cuántas personas hay en la habitación y cuántas de ellas son mentirosas?

1 Llamamos regla de Golomb a una regla de longitud $l$ , que lleva $k+1\geq 2$ marcas $0<a_1<\ldots <a_{k-1}<l$ , tales que las longitudes que pueden medirse usando las marcas de la regla son enteros consecutivos que comienzan en $1$ , y cada una de tales longitudes puede medirse entre exactamente dos de las graduaciones de la regla. Halle todas las reglas de Golomb.

3 Demuestre que el pentágono $ ABCDE$ es cíclico si y solo si \[\mathrm{d(}E,AB\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,CD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AC\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AD\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BC\mathrm{)}\] donde $ \mathrm{d(}X,YZ\mathrm{)}$ denota la distancia del punto $ X$ a la recta $ YZ$ .

En el triángulo \(ABC\), sea \(M\) el punto medio del lado \(BC\), y \(N\) el punto medio del segmento \(AM\). La circunferencia que pasa por \(N\) y es tangente a la recta \(AC\) en \(A\) corta de nuevo al segmento \(AB\) en \(P\). Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo \(BPM\) es tangente a la recta \(AM\).