2 Llamemos compacta a una potencia de dos si puede representarse como la suma de no más de $10^9$ factoriales, no necesariamente distintos, de números enteros positivos. Demuestre que el conjunto de las potencias de dos compactas es finito.

4 4. Halle todas las soluciones reales del siguiente sistema de ecuaciones: $ 72x^3 + 4xy^2 = 11y^3$ , $ 27x^5 - 45x^4y - 10x^2y^3 = - \frac {143}{32}y^5$ .

4 Los números del $1$ al $2025$ se disponen en algún orden en las celdas de la tira de $1 \times 2025$ . Llamemos flip a una operación que toma dos celdas arbitrarias de la tira e intercambia los números escritos en ellas, pero solo si el mayor de estos números está ubicado a la izquierda del menor. Un flop es un conjunto de varios flips que no contienen celdas comunes y que se ejecutan simultáneamente. (Por ejemplo, un flip simultáneo entre las celdas 2.ª y 8.ª y un flip entre las celdas 5.ª y 101.ª.) Demuestre que existe una sucesión de $66$ flops tal que, para cualquier disposición inicial, al aplicar esta sucesión de flops los números quedan ordenados de izquierda a derecha en orden ascendente.

6 Halle todas las funciones \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) tales que \[ f\bigl(x^2+f(y)\bigr)=y-x^2 \] para todos los números reales $x$ e $y$ .

7 El punto $M$ es el punto medio del lado $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ . El punto $U$ es simétrico al ortocentro de $ABC$ con respecto a su circuncentro. El punto $S$ interior al triángulo $ABC$ es tal que $US = UM$ . Demuestre que $SA + SB + SC + AM < AB + BC + CA$ .

8 Se dan los números enteros positivos $n$ y $k > 1$ . A Losyash le gustan algunas de las celdas del tablero cuadriculado de $n \times n$ . Además, le interesa cualquier rectángulo cuadriculado de perímetro $2n + 2$ cuya esquina superior izquierda coincida con la esquina superior izquierda del tablero (hay $n$ de tales rectángulos en total). Dados $n$ y $k$ , determine si Losyash puede colorear cada celda que le gusta con uno de $k$ colores de modo que en cualquier rectángulo de su interés las cantidades de celdas de dos colores cualesquiera difieran en a lo sumo $1$ .

1 Los números del $1$ al $2n$ se disponen en cierto orden en las celdas de la tira de $1 \times 2n$ . Llamemos flip a una operación que toma una celda de la mitad izquierda de la tira y una celda de la mitad derecha de la tira, y luego intercambia los números escritos en ellas, pero solo si el mayor de estos números está ubicado a la izquierda del menor. Demuestre que si se realizan todos los $n^2$ flips posibles en cualquier orden, entonces todos los números del $1$ al $n$ quedarán escritos en la mitad izquierda, y todos los números del $n + 1$ al $2n$ — en la mitad derecha de la tira.

2 $AD$ , $BE$ , $CF$ son las alturas del triángulo acutángulo $ABC$ . Se traza una perpendicular al segmento $DE$ en el punto $E$ . Esta interseca a la altura $AD$ en el punto $G$ . El punto $J$ se elige sobre el segmento $BD$ de tal manera que $BJ = CD$ . El círculo circunscrito del triángulo $BJF$ interseca al segmento $BE$ en el punto $Q$ . Demuestre que los puntos $J$ , $Q$ y $G$ son colineales.

3 Igual que el de grado 10-11

4 Los números positivos $a$ , $b$ y $c$ son tales que $a^2+b^2+c^2+abc=4$ . Demuestre que \[\sqrt{2-a}+\sqrt{2-b}+\sqrt{2-c}\geqslant 2+\sqrt{(2-a)(2-b)(2-c)}.\]