2 ¿Cuál es la mayor distancia posible entre dos puntos, uno en la esfera de radio 19 con centro $(-2, -10, 5)$ y el otro en la esfera de radio 87 con centro $(12, 8, -16)$?

3 Por divisor propio de un número natural entendemos un divisor entero positivo distinto de 1 y del propio número. Un número natural mayor que 1 se llamará "bonito" si es igual al producto de sus divisores propios distintos. ¿Cuál es la suma de los primeros diez números bonitos?

5 Encuentra $3x^2 y^2$ si $x$ y $y$ son enteros tales que $y^2 + 3x^2 y^2 = 30x^2 + 517$.

El rectángulo \(ABCD\) está dividido en cuatro partes de igual área por cinco segmentos como se muestra en la figura, donde \(XY = YB + BC + CZ = ZW = WD + DA + AX\), y \(PQ\) es paralelo a \(AB\). Encuentra la longitud de \(AB\) (en cm) si \(BC = 19\) cm y \(PQ = 87\) cm. [asy] size(250); pair A=origin, B=(96,0), C=(96,22), D=(0,22), W=(16,22), X=(20,0), Y=(80,0), Z=(76,22), P=(24,11), Q=(72,11); draw(P--X--A--D--W--P--Q--Y--B--C--Z--Q^^W--Z^^X--Y); dot(A^^B^^C^^D^^P^^Q^^W^^X^^Y^^Z); pair point=(48,11); label("$A$", A, SW); label("$B$", B, SE); label("$C$", C, NE); label("$D$", D, NW); label("$P$", P, dir(point--P)); label("$Q$", Q, dir(point--Q)); label("$W$", W, N); label("$X$", X, S); label("$Y$", Y, S); label("$Z$", Z, N);[/asy]

7 Sea $[r,s]$ el mínimo común múltiplo de los enteros positivos $r$ y $s$. Encuentra el número de ternas ordenadas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que $[a,b] = 1000$, $[b,c] = 2000$ y $[c,a] = 2000$.

8 ¿Cuál es el entero positivo más grande $n$ para el cual existe un único entero $k$ tal que $\frac{8}{15} < \frac{n}{n + k} < \frac{7}{13}$?

Exteriormente al trapecio $ABCD$ , de base menor $AB$ , se construyen los cuadrados $ADEF$ y $BCGH$ . Demuestre que la mediatriz de $AB$ pasa por el punto medio de $FH$ .

1 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}, \] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Demuestre que $1+L_{2^{j}}\equiv 0 \pmod{2^{j+1}}$ para $j \geq 0$ . N.T.TUAN

15 Los cuadrados $S_1$ y $S_2$ están inscritos en el triángulo rectángulo $ABC$, como se muestra en las figuras siguientes. Encuentra $AC + CB$ si el área de $(S_1) = 441$ y el área de $(S_2) = 440$. [asy] size(250); real a=15, b=5; real x=a*b/(a+b), y=a/((a^2+b^2)/(a*b)+1); pair A=(0,b), B=(a,0), C=origin, X=(y,0), Y=(0, y*b/a), Z=foot(Y, A, B), W=foot(X, A, B); draw(A--B--C--cycle); draw(W--X--Y--Z); draw(shift(-(a+b), 0)*(A--B--C--cycle^^(x,0)--(x,x)--(0,x))); pair point=incenter(A,B,C); label("$A$", A, dir(point--A)); label("$B$", B, dir(point--B)); label("$C$", C, dir(point--C)); label("$A$", (A.x-a-b,A.y), dir(point--A)); label("$B$", (B.x-a-b,B.y), dir(point--B)); label("$C$", (C.x-a-b,C.y), dir(point--C)); label("$S_1$", (x/2-a-b, x/2)); label("$S_2$", intersectionpoint(W--Y, X--Z)); dot(A^^B^^C^^(-a-b,0)^^(-b,0)^^(-a-b,b));[/asy]

1 ¿Cuál es la suma de las soluciones de la ecuación $\sqrt[4]x =\displaystyle \frac{12}{7-\sqrt[4]x}$ ?