1 Halle todas las sucesiones de enteros positivos $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ para las cuales $a_4=4$ y \[\frac{1}{a_1a_2a_3}+\frac{1}{a_2a_3a_4}+\cdots+\frac{1}{a_na_{n+1}a_{n+2}}=\frac{(n+3)a_n}{4a_{n+1}a_{n+2}}\] para todo natural $n \geq 2$ . Peter Boyvalenkov

2 Problema 5. Denótese con $d(a,b)$ el número de divisores del número natural $a$ que son mayores o iguales que $b$ . Halle todos los números naturales $n$ para los cuales $d(3n+1,1)+d(3n+2,2)+\ldots+d(4n,n)=2006.$ Ivan Landgev

3 Problema 6. Sean $m\geq 5$ y $n$ números naturales dados, y sea $M$ un $2n+1$ - gono regular. Halle el número de los $m$ - gonos convexos con vértices entre los vértices de $M$ que tienen al menos un ángulo agudo. Alexandar Ivanov

2 Halle el número de subconjuntos $B$ del conjunto $\{1,2,\cdots, 2005 \}$ tales que la suma de los elementos de $B$ es congruente con $2006$ módulo $2048$

3 Sea $\mathbb{R}^{*}$ el conjunto de los números reales no nulos. Halle todas las funciones $f : \mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}^{*}$ tales que $f(x^{2}+y) = (f(x))^{2} + \frac{f(xy)}{f(x)}$ , para todo $x,y \in \mathbb{R}^{*}$ y $-x^{2} \not= y$ .

4 Sean $a_{i}$ y $b_{i}$ , donde $i \in \{1,2, \dots, 2005 \}$ , números reales tales que la desigualdad $(a_{i}x-b_{i})^{2} \ge \sum_{j=1, j \not= i}^{2005} (a_{j}x-b_{j})$ se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$ y todo $i \in \{1,2, \dots, 2005 \}$ . Halle el máximo número posible de números positivos entre los $a_{i}$ y los $b_{i}$ , $i \in \{1,2, \dots, 2005 \}$ .

5 Sea $ABC$ , con $AC \not= BC$ , un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ e incentro $I$ . Las rectas $CH$ y $CI$ cortan a la circunferencia circunscrita de $\bigtriangleup ABC$ en los puntos $D$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que $\angle CIH = 90^{\circ}$ si y solo si $\angle IDL = 90^{\circ}$

6 En un grupo de nueve personas no es posible elegir cuatro personas tales que cada una conozca a las otras tres. Demuestre que este grupo de nueve personas puede particionarse en cuatro grupos tales que nadie conozca a ninguna persona de su propio grupo.

2 Halle todos los primos $p \ge 3$ tales que $p- \lfloor p/q \rfloor q$ es un entero libre de cuadrados para cualquier primo $q<p$ .

3 En cada celda de una tabla $n \times n$ se escribe un número de modo que todas las filas sean distintas. Demuestre que podemos eliminar una columna de manera que las filas de la nueva tabla sigan siendo distintas.