8 En el plano de un triángulo dado $A_1A_2A_3$ determine (con demostración) una recta $l$ tal que la suma de las distancias desde $A_1, A_2$ , y $A_3$ a $l$ sea la menor posible.

7 Demuestre que para cualquier número natural $n$ , el número $\dbinom{2n}{n}$ divide al mínimo común múltiplo de los números $1, 2,\cdots, 2n -1, 2n$ .

2 Dado un polígono convexo regular de $2m$ lados $P$ , demuestre que existe un polígono de $2m$ lados $\pi$ con los mismos vértices que $P$ (pero en distinto orden) tal que $\pi$ tiene exactamente un par de lados paralelos.

1 La fracción $\frac{3}{10}$ puede escribirse como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ de la siguiente manera: $\frac{3}{10} =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$ y también $\frac{3}{10}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ . Estas son las únicas dos maneras en que esto puede hacerse. ¿De cuántas maneras puede escribirse $\frac{3}{1984}$ como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ ? ¿Existe un entero positivo $n,$ no divisible por $3$ , tal que $\frac{3}{n}$ pueda escribirse como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ en exactamente $1984$ maneras?

Sea $p$ un número primo impar. Para un entero positivo $k$ que satisface $1\le k\le p-1$, el número de divisores de $kp+1$ entre $k$ y $p$ exclusivos es $a_k$. Encuentra el valor de $a_1+a_2+\ldots + a_{p-1}$.

4 Sea un número natural $ n\ge 2 $ y una expresión de $ n $ variables $$ E\left( x_1,x_2,...,x_n\right) =x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2-x_1x_2-x_2x_3-\cdots -x_{n-1}x_n -x_nx_1. $$ Determine $ \sup_{x_1,...,x_n\in [0,1]} E\left( x_1,x_2,...,x_n\right) $ y los valores específicos en los que se alcanza este supremo.

5 Encuentra todas las funciones \( f \), definidas en los números reales no negativos y tomando valores en los números reales no negativos, tales que \( f(x^2)+f(y)=f(x^2+y+xf(4y)) \) para cualesquiera números reales no negativos \( x,\ y \).

4 Sea $ \Gamma$ una circunferencia circunscrita. Un círculo con centro $ O$ toca al segmento $ BC$ en $ P$ y toca el arco $ BC$ de $ \Gamma$ que no contiene a $ A$ en $ Q$ . Si $ \angle {BAO} = \angle {CAO}$ , entonces demuestra que $ \angle {PAO} = \angle {QAO}$ .

3 Sea $ k\geq 2$ un entero, $ n_1,\ n_2,\ n_3$ enteros positivos y $ a_1,\ a_2,\ a_3$ enteros de $ 1,\ 2,\ \cdots ,\ k - 1$ . Sea $ b_i = a_i\sum_{j = 0}^{n_i} k^{j}\ (i = 1,\ 2,\ 3)$ . Encuentra todas las posibles ternas de enteros $ (n_1,\ n_2,\ n_3)$ tales que $ b_1b_2 = b_3$ .

1 Encuentra todos los enteros positivos \( n \) tales que \( 8^n + n \) es divisible por \( 2^n + n \).