1 Un conjunto de enteros positivos distintos se llama singular si, para cada uno de sus elementos, después de tachar ese elemento, los restantes pueden agruparse en dos conjuntos sin elementos comunes tales que la suma de los elementos de los dos grupos sea la misma. Halle el menor entero positivo $n>1$ tal que exista un conjunto singular $A$ con $n$ elementos.

4 Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $\frac{5a^4 + a^2}{b^4 + 3b^2 + 4}$ es un entero. Demuestre que $a$ no es primo.

3 En el triángulo $ABC$ se sabe que $\angle ACB = 2\angle ABC$. Además, $P$ es un punto interior del triángulo $ABC$ tal que $AP = AC$ y $PB = PC$. Demuestre que $\angle BAC = 3 \angle BAP$.

4 Si tenemos un conjunto $M$ de $2019$ números reales tal que para todo par $a$, $b$ de números de $M$ se verifica que $a^2+b \sqrt2$ es un número racional. Demuestre que para todo $a$ de $M$, $a\sqrt2$ es un número racional.

5 Existe una progresión aritmética de $7$ términos en la que todos los términos son números primos distintos. Determine el menor valor posible del último término de tal progresión. Aclaración: En una progresión aritmética de diferencia $d$, cada término es igual al anterior más $d$.

6 Los números naturales de $1$ a $300$ se ubican uniformemente alrededor de un círculo. Decimos que tal ordenamiento es alternado si cada número es menor que sus dos vecinos o es mayor que sus dos vecinos. Llamaremos buen par a un par de números vecinos si, al quitar ese par de la circunferencia, los números restantes forman un ordenamiento alternado. Determine el menor número posible de buenos pares que puede tener un ordenamiento alternado de los números de $1$ a $300$ inclusive.

1 Sea $p$ un número primo y $r$ el resto de la división de $p$ por $210$ . Se sabe que $r$ es un número compuesto y que puede escribirse como la suma de dos cuadrados perfectos no nulos. Halle todos los primos menores que $2018$ que satisfacen estas condiciones.

2 Hay $n$ caballeros numerados del $1$ al $n$ y una mesa redonda con $n$ sillas. El primer caballero elige su silla y, a partir de él, el caballero número $k+1$ se sienta $ k$ lugares a la derecha del caballero número $k$ , para todo $1 \le k\le n-1$ (se cuentan los asientos ocupados y vacíos). En particular, el segundo caballero se sienta junto al primero. Halle todos los valores de $n$ tales que los $n$ caballeros ocupen las $n$ sillas siguiendo el procedimiento descrito.

4 Hay un tablero cuadriculado de $50\times 50$ . Carlos va a escribir un número en cada casilla con el siguiente procedimiento. Primero elige $100$ números distintos, que denotamos $f_1,f_2,f_3,…,f_{50},c_1,c_2,c_3,…,c_{50}$ , entre los cuales hay exactamente $50$ que son racionales. Luego escribe en cada casilla ( $i,j)$ el número $f_i \cdot c_j$ (la multiplicación de $f_i$ por $c_j$ ) . Determine el número máximo de números racionales que pueden contener las casillas del tablero.

5 En el plano hay $2018$ puntos entre los cuales no hay tres en una misma recta. Estos puntos se colorean con $30$ colores de modo que no haya dos colores con el mismo número de puntos. Se forman todos los triángulos con sus tres vértices de colores distintos. Determine el número de puntos de cada uno de los $30$ colores para que el número total de triángulos con los tres vértices de colores distintos sea lo más grande posible.