5 Hay una tabla vacía con $2^{100}$ filas y $100$ columnas. Alice y Eva se turnan para llenar las celdas vacías de la primera fila de la tabla; Alice juega primero. En cada movimiento, Alice elige una celda vacía y coloca una cruz en ella; Eva, en cada movimiento, elige una celda vacía y coloca un cero. Cuando no queden celdas vacías en la primera fila, las jugadoras pasan a la segunda fila, y así sucesivamente (en cada fila nueva Alice juega primero). El juego termina cuando todas las filas estén llenas. Alice quiere lograr tantas filas diferentes como sea posible en la tabla, mientras que Eva quiere lograr las menos posibles. ¿Cuántas filas diferentes habrá en la tabla si ambas siguen sus mejores estrategias? Propuesto por Denis Afrizonov

6 En el pentágono convexo $ABCDE$ los puntos $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ , $E_1$ son las intersecciones de los pares de diagonales $(BD, CE)$ , $(CE, DA)$ , $(DA, EB)$ , $(EB, AC)$ y $(AC, BD)$ respectivamente. Demuestre que si cuatro de los cuadriláteros $AB_{1}A_{1}B$ , $BC_{1}B_{1}C$ , $CD_{1}C_{1}D$ , $DE_{1}D_{1}E$ y $EA_{1}E_{1}A$ son cíclicos, entonces el quinto también es cíclico.

4 Sea $D = \{z\in \mathbb{C}: |z| < 1\}$ el disco unitario abierto en el plano complejo y sea $f : D \to D$ una función holomorfa tal que $\lim_{|z|\to 1}|f(z)| = 1$ . Sea la serie de Taylor de $f$ igual a $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ . Demuestre que el número de ceros de $f$ (contados con sus multiplicidades) es igual a $\sum_{n=0}^{\infty} n|a_n|^2$ .

En un juego, un jugador puede subir hasta 16 niveles. En cada nivel, el jugador puede mejorar una habilidad gastando ese nivel en ella. Hay tres tipos de habilidades, sin embargo, una habilidad no puede mejorarse antes del nivel 6 por primera vez. Y esa habilidad especial no puede mejorarse antes del nivel 11. Las otras habilidades pueden mejorarse en cualquier nivel, cualquier cantidad de veces (posiblemente 0), pero la habilidad especial debe mejorarse exactamente dos veces. ¿De cuántas maneras se pueden mejorar estas habilidades?

1 En la siguiente figura, el cuadrado más grande se divide en dos cuadrados y tres rectángulos, como se muestra: El área de cada cuadrado más pequeño es igual a $a$ y el área de cada rectángulo pequeño es igual a $b$. Si $a+b=24$ y la raíz cuadrada de $a$ es un número natural, encuentra todos los valores posibles para el área del cuadrado más grande.

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto medio de $AO$. Las rectas $BO$ y $CO$ intersecan la altura $AD$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABE$ y $ACF$, respectivamente. Demuestra que $M$ está sobre $O_1O_2$.

4 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Demuestra que $$\sqrt{\frac{a^3}{1+bc}}+\sqrt{\frac{b^3}{1+ac}}+\sqrt{\frac{c^3}{1+ab}}\geq 2$$ ¿Existen ternas $(a,b,c)$ para las cuales se cumple la igualdad? Propuesto por Konstantinos Metaxas.

1 Para todo polinomio de grado 45 con coeficientes $1,2,3, \ldots, 46$ (en algún orden), Tom ha listado todas sus raíces reales distintas. Luego incrementó cada número de la lista en 1 . ¿Qué es ahora mayor: la cantidad de números positivos o la cantidad de números negativos? Alexey Glebov

2 ¿Para cuál $N$ máximo existe un número de $N$ - cifras con la siguiente propiedad: en cualquier sucesión de sus dígitos decimales consecutivos, algún dígito está presente una sola vez? Alexey Glebov

3 Un cuadrado fue dividido en varios rectángulos de modo que los centros de los rectángulos forman un polígono convexo. a) ¿Es seguro que cada rectángulo es adyacente a un lado del cuadrado? b) ¿Puede el número de rectángulos ser igual a 23 ? Alexandr Shapovalov