6 Demuestre que en un torneo con 799 equipos, existen 14 equipos que pueden particionarse en grupos de modo que todos los equipos del primer grupo hayan ganado a todos los equipos del segundo grupo. Omid

7 Sea $ S$ un conjunto con $ n$ elementos, y $ F$ una familia de subconjuntos de $ S$ con $ 2^{n-1}$ elementos, tal que para cada $ A,B,C\in F$ , $ A\cap B\cap C$ no es vacío. Demuestre que la intersección de todos los elementos de $ F$ no es vacía. Omid

1 Halle todos los polinomios de grado 3, tales que para cada $x,y\geq 0$ : \[p(x+y)\geq p(x)+p(y)\] Omid

9 En el triángulo $ABC$ , $D$ , $E$ y $F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con centro $I$ con $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente. Sea $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $D$ a $EF$ . $P$ está en $DM$ tal que $DP = MP$ . Si $H$ es el ortocentro de $BIC$ , demuestre que $PH$ biseca a $ EF$ .

12 $ T$ es un subconjunto de $ {1,2,...,n}$ que tiene esta propiedad : para todos los $ i,j \in T$ distintos , $ 2j$ no es divisible por $ i$ . Demuestre que : $ |T| \leq \frac {4}{9}n + \log_2 n + 2$

3 Suponga que $ T$ es un árbol con $ k$ aristas. Demuestre que el cubo de dimensión $ k$ puede particionarse en grafos isomorfos a $ T$ . Omid

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ tales que para cada $ x,y\in\mathbb R$ : \[ f(xf(y)) + y + f(x) = f(x + f(y)) + yf(x)\] Omid

2 Suponga que $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ y $ l'$ es una recta tangente a la circunferencia inscrita. Sea $ l$ otra recta que interseca a $ AB,AC,BC$ respectivamente en $ C',B',A'$ . Trazamos una tangente desde $ A'$ a la circunferencia inscrita distinta de $ BC$ , y esta recta interseca a $ l'$ en $ A_1$ . $ B_1,C_1$ se definen de manera similar. Demuestre que $ AA_1,BB_1,CC_1$ son concurrentes. Omid

8 Halle todos los polinomios $ P(x,y)$ tales que para todos los reales $ x$ y $y$ , \[P(x^{2},y^{2}) =P\left(\frac {(x + y)^{2}}{2},\frac {(x - y)^{2}}{2}\right).\]

2 Sea $A$ el mayor subconjunto de $\{1,\dots,n\}$ tal que para cada $x\in A$ , $x$ divide a lo sumo a otro elemento de $A$ . Demuestre que \[\frac{2n}3\leq |A|\leq \left\lceil \frac{3n}4\right\rceil. \] Omid