1 Demuestre que para cualquier entero el número $2n^3+3n^2+7n$ es divisible por $6$ .

4 El número $2015$ ha sido escrito en la pizarra. Dos amigos juegan este juego: en la pizarra escriben la diferencia entre el número que está en la pizarra y uno de sus divisores. El juego lo pierde quien llega a $0$ . ¿Cuál de los dos puede asegurar la victoria?

5 Se da un cuadrado $ABCD$ de lado 1 y una circunferencia con diámetro $AD$ . Halle el radio de la circunferencia circunscrita de esta figura.

5 En el ángulo $\angle AOB=60^{\circ}$ hay dos circunferencias que están inscritas en el ángulo y son tangentes entre sí. Si denotamos con $r$ y $R$ los radios de la circunferencia menor y de la mayor respectivamente, y si $r=1$ , halle $R$ .

1 Demuestre que: $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt3+\sqrt5$

2 Evalúe la suma de todos los números de tres cifras que no son divisibles por $13$ .

5 Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa $c$ , demuestre entonces que para todo entero positivo $n>2$ se tiene $c^n>a^n+b^n$ .

4 Halle todos los valores del parámetro $a$ tales que las ecuaciones $x^2-ax+1=0$ y $x^2-x+a=0$ tengan al menos una solución común. Para este valor de $a$ halle la solución común de estas ecuaciones (real o imaginaria).

5 Sea $P$ un punto interior o exterior (pero no sobre) de un triángulo $ABC$ . Demuestre que $PA +PB +PC$ es mayor que la mitad del perímetro del triángulo.

1 Sean $z_1$ y $z_2$ dos números complejos tales que $|z_1+2z_2|=|2z_1+z_2|$ . Demuestre que para todo número real $a$ se cumple $|z_1+az_2|=|az_1+z_2|$ .