1 $\textbf{Problem G1}$ Considere un triángulo $ABC$ con $\angle ACB=90^{\circ}$ . Sea $F$ el pie de la altura desde $C$ . La circunferencia $\omega$ es tangente al segmento $FB$ en el punto $P$ , a la altura $CF$ en el punto $Q$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $R$ . Demuestre que los puntos $A, Q, R$ son colineales y que $AP = AC$ .

2 Sea $K$ un cuadrilátero convexo y sea $l$ una recta que pasa por el punto de intersección de las diagonales de $K$ . Demuestre que la longitud del segmento de intersección $l\cap K$ no excede la longitud de (al menos) una de las diagonales de $K$ .

3 Dado un entero positivo $n$ , considere un arreglo triangular con entradas $a_{ij}$ donde $i$ varía de $1$ a $n$ y $j$ varía de $1$ a $n-i+1$ . Las entradas del arreglo son todas $0$ o $1$ , y, para todo $i > 1$ y cualquier $j$ asociado, $a_{ij}$ es $0$ si $a_{i-1,j} = a_{i-1,j+1}$ , y $a_{ij}$ es $1$ en caso contrario. Sea $S$ el conjunto de las sucesiones binarias de longitud $n$ , y defina una aplicación $f \colon S \to S$ mediante $f \colon (a_{11}, a_{12},\cdots ,a_{1n}) \to (a_{n1}, a_{n-1,2}, \cdots , a_{1n})$ . Determine el número de puntos fijos de $f$ .

1 Sean $n_1,\ldots,n_k$ enteros positivos, y defina $d_1=1$ y $d_i=\frac{(n_1,\ldots,n_{i-1})}{(n_1,\ldots,n_{i})}$ , para $i\in \{2,\ldots,k\}$ , donde $(m_1,\ldots,m_{\ell})$ denota el máximo común divisor de los enteros $m_1,\ldots,m_{\ell}$ . Demuestre que las sumas \[\sum_{i=1}^k a_in_i\] con $a_i\in\{1,\ldots,d_i\}$ para $i\in\{1,\ldots,k\}$ son mutuamente distintas $\mod n_1$ .

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que los triángulos $BCD$ y $CDA$ no son equiláteros. Demuestre que si la recta de Simson de $A$ con respecto a $\triangle BCD$ es perpendicular a la recta de Euler de $BCD$ , entonces la recta de Simson de $B$ con respecto a $\triangle ACD$ es perpendicular a la recta de Euler de $\triangle ACD$ .

3 Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos de números reales y sea $x$ un elemento de $A+B$ . Demuestre que \[|A\cap (x-B)|\leq \frac{|A-B|^2}{|A+B|}\] donde $A+B=\{a+b: a\in A, b\in B\}$ , $x-B=\{x-b: b\in B\}$ y $A-B=\{a-b: a\in A, b\in B\}$ .

4 Demuestre que todo grafo plano simple finito tiene una orientación tal que todo vértice tiene grado de salida a lo sumo 3.

1 Demuestre que para todo entero positivo $n\geq 2$ se tiene que \[\sum_{k=2}^n \lfloor \sqrt[k]{n}\rfloor=\sum_{k=2}^n\lfloor\log_{k}n\rfloor.\]

N4 Sea $P(x)=a_d x^d+\dots+a_1 x+a_0$ un polinomio no constante con coeficientes enteros no negativos que tiene $d$ raíces racionales. Demuestra que $$\text{mcm} \left(P(m),P(m+1),\dots,P(n) \right)\geq m \dbinom{n}{m}$$ para todo $n>m$ (Navid Safaei, Irán)

3 Halle el máximo número posible de reyes en un tablero de ajedrez $12\times 12$ de modo que cada rey ataque exactamente a uno de los otros reyes (un rey ataca solo las casillas que tienen un punto común con la casilla en la que se encuentra).