1 Hay $n$ lámparas y $k$ interruptores en una habitación. Inicialmente, cada lámpara está encendida o apagada. Cada lámpara está conectada por un cable con $2020$ interruptores. Accionar un interruptor cambia el estado de una lámpara conectada a él al estado opuesto. Se sabe que se pueden accionar los interruptores de modo que todas las lámparas queden encendidas. Demuestre que es posible lograr el mismo resultado accionando los interruptores no más de $ \left \lfloor \dfrac{k}{2} \right \rfloor$ veces. Propuesto por T. Zimanov

2 Sean $x_1, x_2, ... , x_n$ números reales tales que 1) $1 \le x_1, x_2, ... , x_n \le 160$ 2) $x^{2}_{i} + x^{2}_{j} + x^{2}_{k} \ge 2(x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ para todo $1\le i < j < k \le n$ Halle el mayor $n$ posible.

3 Sea $p$ un número primo y sean $k,r$ enteros positivos tales que $p>r$ . Si $pk+r$ divide a $p^p+1$ entonces demuestre que $r$ divide a $k$ .

4 La circunferencia inscrita del triángulo $ ABC $ toca a los lados $ AB, BC, CA $ en los puntos $ C_0, A_0, B_0 $ , respectivamente. Sea el punto $ M $ el punto medio del segmento que conecta el vértice $ C_0 $ con el punto de intersección de las alturas del triángulo $ A_0B_0C_0 $ , y sea el punto $ N $ el punto medio del arco $ ACB $ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC $ . Demuestre que la recta $ MN $ pasa por el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC $ .

1 Halle todos los pares $ (m, n) $ de números naturales tales que $ n ^ 4 \ | \ 2m ^ 5 - 1 $ y $ m ^ 4 \ | \ 2n ^ 5 + 1 $ .

2 Halle todas las funciones $ f: \mathbb {R} ^ + \to \mathbb {R} ^ + $ tales que para cualesquiera $ x, y \in \mathbb {R} ^ + $ se cumple la siguiente igualdad: \[f (x) f (y) = f \left (\frac {xy} {x f (x) + y} \right). \] $ \mathbb {R} ^ + $ denota el conjunto de los números reales positivos.

4 Alice y Bob juegan un juego en el lado infinito de una tira cuadriculada, en la cual las celdas están numeradas con enteros consecutivos de izquierda a derecha (..., $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ , ...). Alice en su turno pone una cruz en cualquier celda libre, y Bob en su turno pone ceros en cualesquiera 2020 celdas libres. Alice ganará si logra obtener 4 celdas marcadas con cruces tales que los números de celda correspondientes formen una progresión aritmética. El objetivo de Bob en este juego es impedir que Alice gane. Juegan por turnos y Alice mueve primero. ¿Podrá Alice ganar sin importar cómo juegue Bob?

1 Al alcalde de una ciudad le gustan los números de matrícula «hermosos». Un número se considera hermoso si, insertando las operaciones $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ y paréntesis entre y alrededor de sus dígitos, se puede obtener una expresión cuyo valor es divisible por $10$ . Para deleite del alcalde, se planea una reforma de las matrículas este mes. ¿Cuál es el número mínimo de dígitos que debe contener una matrícula para garantizar que todo automóvil de la ciudad tenga un número hermoso? (Todas las matrículas consisten solo en dígitos.)

2 Dado un pentágono convexo inscrito $ ABCDE $ . El círculo con centro en $ E $ y radio $ AE $ interseca a los segmentos $ AC $ y $ AD $ en $ X $ y $ Y $ , respectivamente, y el círculo con centro en $ C $ y radio $ BC $ interseca a los segmentos $ BE $ y $ BD $ en $ Z $ y $ T $ , respectivamente. Las rectas $ XY $ y $ ZT $ se intersecan en $ F $ . Demuestre que $ DF $ y $ EC $ son perpendiculares.

4 En un $n$ -gono regular ( $n\geqslant4$ ) , cada diagonal se colorea con uno de dos colores. Luego, para cada par de diagonales que se intersecan del mismo color, se elimina una de estas diagonales. ¿Cuál es el número máximo posible de diagonales que pueden quedar después de estas operaciones? (Las diagonales que comparten un extremo común no se consideran que se intersecan.)