1 Determina todas las soluciones enteras no negativas \( (n_{1},n_{2},\dots , n_{14}) \), si las hay, salvo permutaciones, de la ecuación diofántica \[n_{1}^{4}+n_{2}^{4}+\cdots+n_{14}^{4}=1,599.\]

5 En la tabla https://services.artofproblemsolving.com/download.php?id=YXR0YWNobWVudHMvZC9hLzBjNjFlZWFjM2ZlOTQzMTk2YTdkMzQ2MjJiYzYyMWFlN2Y0ZGZlLnBuZw==&rn=dGFibGljYWEucG5n están marcados $10$ números, exactamente uno en cada fila y cada columna. Demuestre que entre ellos hay al menos dos iguales

2025.5 Sea $[ABCD]$ un cuadrado de lados de $2$ cm y centrado en el punto $T$, como se muestra en la figura. Dibuja un rombo $[ARTE]$ donde el punto $E$ pertenece a la recta $DC$. ¿Cuál es el área del rombo $[ARTE]$?

3 Sea $F = \max_{1 \leq x \leq 3} |x^3 - ax^2 - bx - c|$ . Cuando $a$ , $b$ , $c$ recorren todos los números reales, halle el menor valor posible de $F$ .

2 Sean $\theta_i \in \left ( 0,\frac{\pi}{4} \right ]$ para $i=1,2,3,4$ . Demuestre que: $\tan \theta _1 \tan \theta _2 \tan \theta _3 \tan \theta _4 \le (\frac{\sin^8 \theta _1+\sin^8 \theta _2+\sin^8 \theta _3+\sin^8 \theta _4}{\cos^8 \theta _1+\cos^8 \theta _2+\cos^8 \theta _3+\cos^8 \theta _4})^\frac{1}{2}$

6 Un sultán ha capturado a 23 magos y les propone un juego para liberarlos. El sultán dice que construirá 11 pozos numerados del 1 al 11, y una torre. Dentro de cada pozo colocará a dos magos, y pondrá al mago restante en la torre. Cada mago de los pozos llevará un sombrero de uno de cuatro colores (conocidos por todos), y el mago de la torre llevará un sombrero de uno de 2025 colores (distintos de los otros cuatro y conocidos por todos). Ningún mago sabrá el color de su propio sombrero. Una vez dentro del pozo, cada mago sabrá el número del pozo en el que está; además, solo verá el sombrero del mago de la torre y el sombrero del mago con quien comparte el pozo. El mago de la torre sabrá el número de cada pozo, y podrá ver los sombreros de todos los demás magos. En cierto momento, el sultán dará la orden y, simultáneamente, cada mago dirá: El color de mi sombrero es $x$ , '' donde $x$ es cualquier color que él elija. Si al menos un mago dice la verdad, todos los magos ganan y son liberados; en caso contrario, pierden. Antes de ser colocados en sus posiciones y recibir sus sombreros, los magos tendrán algún tiempo para planear una estrategia, pero no podrán comunicarse después. ¿Pueden garantizar la victoria, sin importar lo que haga el sultán?

2 Sea $M$ un $n$ -ágono convexo. Sea $k$ el número mínimo de puntos que pueden colocarse estrictamente dentro de $M$ de modo que dentro de todo pentágono cuyos vértices son vértices de $M$ haya exactamente $3$ de los puntos marcados. Demuestre que $k \geqslant n-2$ .

2 Considere un tablero de \(n\times n\) dividido en \(n^2\) casillas, con \(n\ge3\) . Inicialmente se elige una casilla y se colocan \(n^2\) monedas sobre ella. Una jugada consiste en elegir una casilla que contenga al menos dos monedas y mover dos de esas monedas a dos casillas que son simétricas respecto de la casilla elegida y comparten al menos un vértice con ella. Los cuatro tipos posibles de jugadas se muestran a continuación. [asy] unitsize(1cm); defaultpen(linewidth(1.2)+fontsize(10pt)); pen gridpen = linewidth(1.2); pen coinstroke = linewidth(1.2); pen coinfill = rgb(1,0.8,0); // orange-like void drawGrid(real xo){ for (int i=0; i<=3; ++i){ draw( (xo+i,0)--(xo+i,3), gridpen ); draw( (xo, i)--(xo+3, i), gridpen ); } } void board(int t, real xo, string labeltext){ drawGrid(xo); pair C = (xo+1.5,1.5); filldraw(circle(C,0.08), black, black); pair P1, P2; if (t==1){ P1=(xo+1.5,2.5); P2=(xo+1.5,0.5); } if (t==2){ P1=(xo+0.5,1.5); P2=(xo+2.5,1.5); } if (t==3){ P1=(xo+0.5,0.5); P2=(xo+2.5,2.5); } if (t==4){ P1=(xo+0.5,2.5); P2=(xo+2.5,0.5); } filldraw(circle(P1,0.25), coinfill, coinstroke); filldraw(circle(P2,0.25), coinfill, coinstroke); draw(C--P1, EndArrow(size=8)); draw(C--P2, EndArrow(size=8)); label(labeltext, (xo+1.5,-0.45)); } board(1,0,"Type 1"); board(2,4,"Type 2"); board(3,8,"Type 3"); board(4,12,"Type 4"); [/asy] Si después de varias jugadas hay exactamente una moneda en cada casilla del tablero, demuestre que el número de jugadas de Tipo 3 es igual al número de jugadas de Tipo 4.

4 Una sucesión de enteros $ a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ se define como sigue: $ a_{1} = 1$ y, para $ n\geq 1$ , $ a_{n + 1}$ es el menor entero mayor que $ a_{n}$ tal que $ a_{i} + a_{j}\neq 3a_{k}$ para cualesquiera $ i,j$ y $ k$ en $ \{1,2,3,\ldots ,n + 1\}$ , no necesariamente distintos. Determine $ a_{1998}$ .

Sean $A{}$ y $B{}$ matrices $3\times 3{}$ con entradas complejas, que satisfacen $A^2=B^2=O_3$ . Demuestre que si $A{}$ y $B{}$ conmutan, entonces $AB=O_3$ . ¿Es cierto el recíproco?