Sea $I{}$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ . Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ los puntos medios de los lados $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente. El punto $X{}$ es simétrico a $I{}$ con respecto a $A_1$ . La recta $\ell$ paralela a $BC$ que pasa por $X{}$ corta a las rectas $A_1B_1$ y $A_1C_1$ en $M{}$ y $N{}$ , respectivamente. Demuestre que uno de los excentros del triángulo $ABC$ se encuentra sobre la $A_1$ -excircunferencia del triángulo $A_1MN$ .

Sea $\mathcal{F}$ una familia finita de subconjuntos de un cierto conjunto $X{}$ . Se sabe que para cualesquiera dos elementos $x,y\in X$ existe una permutación $\pi$ del conjunto $X$ tal que $\pi(x)=y$ , y para todo $A\in\mathcal{F}$ \[\pi(A):=\{\pi(a):a\in A\}\in\mathcal{F}.\] Un oso y un cocodrilo juegan un juego. En cada movimiento, un jugador pinta uno o más elementos del conjunto $X$ con su propio color: marrón para el oso y verde para el cocodrilo. El primer jugador que pinte por completo uno de los conjuntos de $\mathcal{F}$ con su propio color pierde. Si esto no ocurre y todos los elementos de $X$ han sido pintados, se declara empate. El oso juega primero. Demuestre que no tiene una estrategia ganadora.

Halle todos los pares $(p,q)$ de números primos tales que $p>q$ y $$\frac{(p+q)^{p+q}(p-q)^{p-q}-1}{(p+q)^{p-q}(p-q)^{p+q}-1}$$ es un entero.

Dentro del triángulo acutángulo $ABC$ , se eligen los puntos $P{}$ y $Q{}$ de modo que $\angle ACP = \angle BCQ$ y $\angle CBP =\angle ABQ$ . El punto $Z{}$ es la proyección de $P{}$ sobre la recta $BC$ . El punto $Q'$ es simétrico de $Q{}$ con respecto a $Z{}$ . Los puntos $K{}$ y $L{}$ se eligen sobre los rayos $AB$ y $AC$ respectivamente, de modo que $Q'K \parallel QC$ y $Q'L \parallel QB$ . Demuestre que $\angle KPL=\angle BPC$ .

3 Se coloca una ficha en el origen de un retículo de enteros. Calvin y Hobbes juegan al siguiente juego. Calvin comienza el juego y cada uno de ellos juega por turnos alternados. En cada turno, uno puede elegir dos enteros $a, b$ (no necesariamente distintos), ninguno de los cuales fue elegido antes por ningún jugador, y mover la ficha $a$ unidades en la dirección horizontal y $b$ unidades en la dirección vertical. Hobbes gana si la ficha vuelve al origen en cualquier momento después del primer turno. Demuestre o refute que Calvin puede evitar que Hobbes gane. Nota: Un movimiento en la dirección horizontal de una cantidad positiva será hacia la derecha, y de una cantidad negativa será hacia la izquierda (y direcciones similares en el caso vertical).

Sean $a < b$ enteros positivos. Demuestre que existe un entero positivo $n{}$ y un polinomio de la forma \[\pm1\pm x\pm x^2\pm\cdots\pm x^n,\] divisible por el polinomio $1+x^a+x^b$ .

Sea $k>1$ el número natural dado y $p\in \mathbb{P}$ tal que $n=kp+1$ es un número compuesto. Dado que $n\mid 2^{n-1}-1.$ Demuestre que $n<2^k.$ Dr.frankenstein

2 Sea $n$ un número natural. Una triangulación de un n-ágono convexo es una división del polígono en $n-2$ triángulos trazando $n-3$ diagonales de las cuales no hay dos que se intersequen en un punto interior del polígono. Sea $f(n)$ el número de triangulaciones de un n-ágono regular tales que cada uno de los triángulos formados es isósceles. Determine $f(n)$ en términos de $n$ .

Hay $2^n$ aeropuertos, numerados con cadenas binarias de longitud $n{}$ . Cualesquiera dos estaciones cuyos números difieran en exactamente un dígito están conectadas por un vuelo que tiene un precio (el cual es el mismo en ambas direcciones). La suma de los precios de todos los $n{}$ vuelos que salen de cualquier estación no supera 1. Demuestre que se puede viajar entre cualesquiera dos aeropuertos pagando no más de 1.

Hay 2018 puntos marcados sobre una esfera. Una cebra quiere pintar cada punto de blanco o de negro y, quizás, unir algunos pares de puntos de colores distintos con un segmento. Halle el residuo módulo 5 del número de maneras de hacerlo.