G1 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC < BC$ . Sobre el lado $BC$ consideramos los puntos $D$ y $E$ tales que $BA = BD$ y $CE = CA$ . Sea $K$ el circuncentro del triángulo $ADE$ y sean $F$ , $G$ los puntos de intersección de las rectas $AD$ , $KC$ y $AE$ , $KB$ respectivamente. Sea $\omega_1$ la circunferencia circunscrita del triángulo $KDE$ , $\omega_2$ la circunferencia con centro $F$ y radio $FE$ , y $\omega_3$ la circunferencia con centro $G$ y radio $GD$ . Demuestre que $\omega_1$ , $\omega_2$ y $\omega_3$ pasan por el mismo punto y que este punto de intersección se encuentra sobre la recta $AK$ .

$A$$n$$copy$$A$$A$$n$$copies$$A$$4$$A$$A$$0$

B1 Encuentra el área de un octágono convexo que está inscrito en un círculo y tiene cuatro lados consecutivos de longitud $3$ y los cuatro lados restantes de longitud $2$. Da la respuesta en la forma $r+s\sqrt{t}$ con $r, s, t$ enteros positivos.

4 Halle todos los enteros positivos $a,b,c$ y el primo $p$ que satisfacen \[ 2^a p^b=(p+2)^c+1.\]

4 Se dan $n$ $k$ - gonos convexos en el plano que se intersecan dos a dos. Cualquiera de ellos puede transformarse en cualquier otro mediante una homotecia con coeficiente positivo. Demuestre que existe un punto en el plano que pertenece al menos a $1 +\frac{n-1}{2k}$ de estos $k$ - gonos.

3 Los números racionales positivos $a$ y $b$ se escriben como fracciones decimales y cada uno tiene un período mínimo de 30 dígitos. En la representación decimal de $a-b$ , el período es de al menos $15$ . Halle el valor mínimo de $k\in\mathbb{N}$ tal que, en la representación decimal de $a+kb$ , la longitud del período sea al menos $15$ . A. Golovanov

3 Hay $n$ celdas con índices del $1$ al $n$ . Inicialmente, en cada celda hay una tarjeta con el índice correspondiente. Vasya mueve las tarjetas de modo que en la $i$ - ésima celda ahora haya una tarjeta con el número $a_i$ . Petya puede intercambiar dos tarjetas cualesquiera con números $x$ y $y$ , pero debe pagar $2|x-y|$ monedas. Demuestre que Petya puede devolver todas las tarjetas a su posición original sin pagar más de $|a_1-1|+|a_2-2|+\ldots +|a_n-n|$ monedas.

$S$$x,y$$1$$S$$x,y$$S$$S$

1 En un hexágono convexo cíclico $ABCDEF$ , $AB$ y $DC$ se cortan en $G$ , $AF$ y $DE$ se cortan en $H$ . Sean $M, N$ los circuncentros de $BCG$ y $EFH$ , respectivamente. Demuestre que $BE$ , $CF$ y $MN$ son concurrentes.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle ACB>2 \angle ABC$ . Sea $I$ el incentro de $ABC$ , $K$ el reflejo de $I$ respecto de la recta $BC$ . Las rectas $BA$ y $KC$ se cortan en $D$ . La recta que pasa por $B$ paralela a $CI$ corta al arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $E(E \neq B)$ . La recta que pasa por $A$ paralela a $BC$ corta a la recta $BE$ en $F$ . Demuestre que si $BF=CE$ , entonces $FK=AD$ .