Halle todos los enteros positivos $n$ y números primos $p$ tales que $$17^n \cdot 2^{n^2} - p =(2^{n^2+3}+2^{n^2}-1) \cdot n^2.$$ . Autor: Nikola Velov

Sea $n$ un entero positivo tal que $n^5+n^3+2n^2+2n+2$ es un cubo perfecto. Demuestre que $2n^2+n+2$ no es un cubo perfecto. Propuesto por Anastasija Trajanova

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito con circunferencia inscrita $k(O,r)$ que es tangente a los lados $BC$ y $AD$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia de diámetro $OC$ pasa por el punto de intersección de $KL$ y $OD$ . Propuesto por Ilija Jovchevski

5 Considere un tablero $2023\times2023$ dividido en casillas unitarias. Dos casillas unitarias se llaman adyacentes si comparten al menos un vértice. Mahler y Srecko juegan un juego en este tablero. Inicialmente, Mahler tiene una ficha colocada en la casilla marcada con M , y Srecko tiene una ficha colocada en la casilla marcada con S (véase el anexo). Los jugadores mueven su ficha alternadamente, siguiendo tres reglas: 1. Una ficha solo puede moverse a una casilla unitaria adyacente a la que ocupa. 2. Una ficha no puede colocarse en una casilla unitaria sobre la que ya se haya colocado una ficha anteriormente (una vez usada, una casilla unitaria no puede volver a usarse jamás). 3. Una ficha no puede moverse a una casilla unitaria adyacente a la casilla ocupada por la ficha del oponente. Un jugador gana el juego si su ficha llega a la esquina diagonalmente opuesta a su posición inicial (es decir, Srecko se mueve a $s_p$ , Mahler se mueve a $m_p$ ) o si el oponente debe mover pero no tiene ningún movimiento legal. Mahler mueve primero. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $K,L,M,N,S,T$ los puntos medios de $AB, BC, CD, AD, AC, BD$ respectivamente. Demuestre que los circuncentros de $KLS, LMT, MNS, NKT$ forman un cuadrilátero cíclico que es semejante a $ABCD$ .

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos y sea $$T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}$$ el cubo reticular de lado $n$ . Suponga que $3n^2 - 3n + 1 + k$ puntos de $T$ están coloreados de rojo de modo que si $P$ y $Q$ son puntos rojos y $PQ$ es paralelo a uno de los ejes coordenados, entonces todo el segmento $PQ$ consiste solamente de puntos rojos. Demuestre que existen al menos $k$ cubos unitarios de lado $1$ cuyos vértices están todos coloreados de rojo.

3 Sea $q$ un entero positivo que no es un cubo perfecto. Demuestre que existe una constante positiva $C$ tal que para todo número natural $n$ se tiene $$\{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}$$ donde $\{ x \}$ denota la parte fraccionaria de $x$ .

5 Se da un tablero de $n\times n$ , con un entero escrito en cada casilla. En cada movimiento, puedo elegir cualquier casilla y sumar $1$ a todos los $2n-1$ números de su fila y su columna. Halle el mayor $N(n)$ tal que para cualquier elección inicial de enteros, pueda hacer un número finito de movimientos de modo que haya al menos $N(n)$ números pares en el tablero.

1 Sea $n$ un entero positivo. Sea $A_n$ el conjunto de los primos $p$ tales que existen enteros positivos $a,b$ que satisfacen que $$\frac{a+b}{p} \text{ and } \frac{a^n + b^n}{p^2}$$ son ambos enteros coprimos con $p$ . Si $A_n$ es finito, sea $f(n)$ el cardinal $|A_n|$ . a) Demuestre que $A_n$ es finito si y solo si $n \not = 2$ . b) Sean $m,k$ enteros positivos impares y sea $d$ su mcd. Demuestre que $$f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).$$

2 En el triángulo acutángulo $ABC$ , sea $\odot O$ su circunferencia circunscrita, $\odot I$ su circunferencia inscrita. Las tangentes en $B,C$ a $\odot O$ se cortan en $L$ , $\odot I$ toca a $BC$ en $D$ . $AY$ es perpendicular a $BC$ en $Y$ , $AO$ interseca a $BC$ en $X$ , y $OI$ interseca a $\odot O$ en $P,Q$ . Demuestre que $P,Q,X,Y$ son concíclicos si y solo si $A,D,L$ son colineales.