A1 Determina todos los polinomios $P$ con coeficientes reales que satisfacen la siguiente condición: siempre que $x$ y $y$ sean números reales tales que $P(x)$ y $P(y)$ sean ambos racionales, entonces $P(x + y)$ también lo es.

G1 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\omega$. La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $ADI$ corta a $\omega$ nuevamente en $P$, y las rectas $PE$ y $PF$ cortan a $\omega$ nuevamente en $X$ e $Y$, respectivamente. Demuestra que las rectas $AI$, $BX$ y $CY$ son concurrentes.

2 Esmeralda piensa en un entero positivo $n$ entre $1$ y $2025$, inclusive. Miguelito quiere adivinar este número correctamente. Entonces, hace preguntas de la forma: ¿En cuántos subconjuntos de $\{1,2,\ldots,2025\}$ aparece tu número? Esmeralda responde cada pregunta con la verdad. Por ejemplo, si Miguelito elige los subconjuntos $\{1,2,\ldots,1000\}$ y $\{1000,1001,\ldots,2024\}$, entonces Esmeralda responderá $2$ si $n=1000$; $0$ si $n=2025$; y $1$ en todos los demás casos. Miguelito tiene muchas fichas. En cada pregunta, Miguelito gasta una ficha por cada subconjunto que elige. Miguelito puede hacer hasta $6$ preguntas, ¿cuál es el número mínimo de fichas que debe gastar para lograr su objetivo sin importar el número $n$ elegido por Esmeralda?

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y ortocentro $H$. Sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas del triángulo $ABC$ desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sea $G$ la intersección de $AD$ y $EF$, $R$ la intersección de $BG$ con $AC$, y $S$ la intersección de $CG$ con $AB$. Sea $\omega_1$ la circunferencia que pasa por $S$, $F$ y $D$, y $\omega_2$ la circunferencia que pasa por $R$, $E$ y $D$. Sea $M$ el segundo punto de intersección de $\omega_1$ con $CF$ y $N$ el segundo punto de intersección de $\omega_2$ con $BE$. Demuestra que las rectas $RS$, $MN$ y $CB$ son concurrentes.

4 Sea $ABC$ un triángulo. Dentro de él, se marcan puntos $X$ y $Y$ sobre la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. Sea $M$ el punto medio del segmento $XY$, y sean $D$ y $E$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $AD = AE$ y $\angle XDY$ es obtuso. El rayo $EM$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $DXY$ en $F$. Demuestra que $DF$ y $XY$ son paralelas.

5 Encuentra todos los números primos $p$ y $q$ tales que $2p-1$, $2q-1$ y $2pq-1$ son todos cuadrados perfectos.

7 Se da un paralelogramo $ABCD$. La excircunferencia del triángulo $\triangle{ABC}$ toca el lado $AB$ en $L$ y la prolongación de $BC$ en $K$. La recta $DK$ corta a la diagonal $AC$ en el punto $X$; la recta $BX$ corta a la mediana $CC_1$ del triángulo $\triangle{ABC}$ en $Y$. Demuestra que la recta $YL$, la mediana $BB_1$ del triángulo $\triangle{ABC}$ y su bisectriz $CC^\prime$ tienen un punto común. (A. Golovanov)

5 Sean $a$, $b$ y $c$ primos mayores que $7$, que son longitudes de los lados de un triángulo que satisfacen $a \mid b^3 - c^3$, $b \mid c^3 - a^3$, $c \mid a^3 - b^3$. Demuestra que $a$, $b$ y $c$ son iguales.

2 Sea $n \geq 2$ un entero. Hay $n$ números, cada uno comienza en 0. En cada operación, se eligen dos números, el más pequeño aumenta en $1$ y el más grande se vuelve $0$ (si son iguales, uno aumenta $1$ y el otro se vuelve $0$). Este proceso se puede repetir indefinidamente. Encuentra, en función de $n$, el número más grande que puede aparecer en la secuencia.

3 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y sea $P$ un punto en el plano. La recta $AP$ interseca la mediatriz de $BC$ en el punto $A'$. Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera análoga. Supón que $A, B, C, P, A', B', C', O$ son puntos distintos. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AA'O$, $BB'O$ y $CC'O$ concurren en un punto distinto de $O$.